Какова высота и площадь боковой поверхности пирамиды, у которой основание представляет собой ромб со стороной равной

Для решения этой задачи нам понадобятся некоторые геометрические свойства пирамиды. Давайте пошагово рассмотрим каждый шаг решения.

Шаг 1: Найдем высоту пирамиды.
Зная, что у нас есть ромб со стороной 4 см и острым углом 30°, мы можем найти его высоту с помощью тригонометрии. В равностороннем треугольнике, образованном двумя сторонами ромба и его диагональю, угол 30° находится напротив стороны, равной половине диагонали. Таким образом, длина высоты ромба будет равна \(4 \cdot \sin(30°)\), что равно \(2 \, \text{см}\). Теперь, так как пирамида имеет ромбовидное основание, высота пирамиды проходит через центр ромба. В получившемся треугольнике с гипотенузой, равной 3, и одной из катетов равным 2, мы можем применить теорему Пифагора и найти высоту пирамиды, \(h\):

\[
h = \sqrt{3^2 - 2^2} = \sqrt{5} \approx 2.236 \, \text{см}
\]

Таким образом, высота пирамиды равна \(3\sqrt{5}\) см.

Шаг 2: Найдем площадь боковой поверхности пирамиды.
Площадь боковой поверхности пирамиды можно найти путем сложения площадей треугольников, образованных ее боковыми гранями. Каждая боковая грань пирамиды представляет собой равносторонний треугольник, так как все углы, образуемые боковыми гранями с плоскостью основания, равны 60°. Таким образом, площадь каждой боковой грани будет равна \(\frac{{\sqrt{3}}}{4} \cdot a^2\), где \(a\) - длина стороны основания ромба, равная 4 см. Так как у пирамиды 4 боковые грани, площадь боковой поверхности будет равна \(4 \cdot \frac{{\sqrt{3}}}{4} \cdot 4^2\). Упрощая это выражение, мы получим:

\[
\text{Площадь боковой поверхности} = 4 \cdot \frac{{\sqrt{3}}}{4} \cdot 4^2 = 4 \cdot \sqrt{3} \cdot 4 = 16 \sqrt{3} \, \text{см}^2
\]

Итак, высота пирамиды равна \(3\sqrt{5}\) см, а площадь боковой поверхности равна \(16\sqrt{3}\) см².