Какова высота цилиндра, если его основание имеет площадь 49π квадратных дюймов и угол между диагональю осевого сечения

Чтобы решить данную задачу, нам необходимо использовать геометрические свойства цилиндра.

Поскольку в задаче дано, что площадь основания цилиндра составляет 49π квадратных дюймов, мы можем найти радиус основания цилиндра. Формула для площади круга: \[S = \pi r^2\], где S - площадь, а r - радиус. Решим уравнение и найдем радиус:
\[49\pi = \pi r^2\]
Делим обе стороны уравнения на π, получаем:
\[49 = r^2\]
Теперь извлечем квадратный корень из обоих сторон уравнения:
\[r = \sqrt{49} = 7\]

Теперь, чтобы найти высоту цилиндра, нам понадобится использовать свойство соотношения высоты цилиндра, радиуса основания и диагонали осевого сечения цилиндра.

Из задачи также известно, что угол между диагональю осевого сечения цилиндра и образующей равен 30°. Образующая цилиндра - это прямая линия, которая проходит через вершину окружности на основании и вершину на внешней поверхности цилиндра.

Таким образом, у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где AB - радиус основания цилиндра (7), BC - образующая цилиндра и угол BAC равен 30°. Мы ищем высоту цилиндра, которая является высотой прямоугольного треугольника и обозначается как h.

Теперь мы можем использовать тригонометрию для нахождения высоты цилиндра. В треугольнике ABC у нас имеется противолежащий катет BC и угол BAC, поэтому нам понадобится тангенс этого угла. Формула для нахождения высоты треугольника с помощью тангенса: \[h = BC \cdot \tan(\angle BAC)\]

Вычислим значение высоты с помощью формулы:
\[h = BC \cdot \tan(30°)\]
Заметим, что \(\tan(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}}\)

\[h = BC \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}\]

Теперь нам нужно найти значение BC. Рассмотрим треугольник ABC. Мы знаем, что радиус (AB) равен 7, а угол (BAC) - 30°. Найдем значение BC с помощью формулы синуса: \[BC = AB \cdot \sin(\angle BAC)\]

Вычислим значение BC:
\[BC = 7 \cdot \sin(30°) = 7 \cdot \frac{1}{2} = \frac{7}{2}\]

Теперь, заменяя значения в формуле для высоты, получаем:
\[h = \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{7}{2 \sqrt{3}} = \frac{7 \sqrt{3}}{6}\]

Итак, высота цилиндра составляет \( \frac{7 \sqrt{3}}{6} \) дюймов.