Какова высота цилиндра, если его основание имеет площадь 49π квадратных дюймов и угол между диагональю осевого сечения

Чтобы решить данную задачу, нам необходимо использовать геометрические свойства цилиндра.

Поскольку в задаче дано, что площадь основания цилиндра составляет 49π квадратных дюймов, мы можем найти радиус основания цилиндра. Формула для площади круга: $$S=\pi r^2$$, где S - площадь, а r - радиус. Решим уравнение и найдем радиус:
$$49\pi =\pi r^2$$
Делим обе стороны уравнения на π, получаем:
$$49=r^2$$
Теперь извлечем квадратный корень из обоих сторон уравнения:
$$r=\sqrt{49}=7$$

Теперь, чтобы найти высоту цилиндра, нам понадобится использовать свойство соотношения высоты цилиндра, радиуса основания и диагонали осевого сечения цилиндра.

Из задачи также известно, что угол между диагональю осевого сечения цилиндра и образующей равен 30°. Образующая цилиндра - это прямая линия, которая проходит через вершину окружности на основании и вершину на внешней поверхности цилиндра.

Таким образом, у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где AB - радиус основания цилиндра (7), BC - образующая цилиндра и угол BAC равен 30°. Мы ищем высоту цилиндра, которая является высотой прямоугольного треугольника и обозначается как h.

Теперь мы можем использовать тригонометрию для нахождения высоты цилиндра. В треугольнике ABC у нас имеется противолежащий катет BC и угол BAC, поэтому нам понадобится тангенс этого угла. Формула для нахождения высоты треугольника с помощью тангенса: $$h=BC\cdot \tan (\mathrm{\angle }BAC)$$

Вычислим значение высоты с помощью формулы:
$$h=BC\cdot \tan (30°)$$
Заметим, что $\tan (30°)=\frac{1}{\sqrt{3}}$

$$h=BC\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}$$

Теперь нам нужно найти значение BC. Рассмотрим треугольник ABC. Мы знаем, что радиус (AB) равен 7, а угол (BAC) - 30°. Найдем значение BC с помощью формулы синуса: $$BC=AB\cdot \sin (\mathrm{\angle }BAC)$$

Вычислим значение BC:
$$BC=7\cdot \sin (30°)=7\cdot \frac{1}{2}=\frac{7}{2}$$

Теперь, заменяя значения в формуле для высоты, получаем:
$$h=\frac{7}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{7}{2\sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{3}}{6}$$

Итак, высота цилиндра составляет $\frac{7\sqrt{3}}{6}$ дюймов.