Какова высота цилиндра, если его осевое сечение имеет диагональ размером 20 см и образует угол в 30° с основанием?

Для решения этой задачи, нам необходимо использовать геометрические знания о цилиндре и применить треугольник с заданным углом.

Предположим, что цилиндр имеет высоту \(h\) см. Затем нарисуем осевое сечение цилиндра, чтобы визуализировать задачу.

\[ \begin{array}{c}
\text{ /} \\
\text{ /} \\
\text{ /} \\
\text{ /} \\
\text{ /} \\
\text{ /} \\
\text{20 см} \\
\text{ \: \: \: \: \: \: /} \\
\text{ \: \: \: \: \: /} \\
\text{ \: \: \: \: /} \\
\text{ \: \: \: /} \\
\text{ \: \: /} \\
\text{ \: /} \\
\text{ \: /} \\
\text{ \:/} \\
\text{ \:/} \\
\text{ \:/} \\
\text{ \:/} \\
\text{ /} \\
\end{array} \]

Из сечения видно, что диагональ \(20\) см образует угол \(30^\circ\) с основанием цилиндра.

Теперь мы можем использовать эту информацию для решения задачи. В треугольнике, образованном основанием цилиндра и диагональю, у нас есть угол в \(30^\circ\) и противоположная сторона, которая равна радиусу цилиндра. Диагональ и радиус создают прямоугольный треугольник.

Мы можем использовать тригонометрическое соотношение \(\sin \theta = \frac{{\text{противоположная сторона}}}{{\text{гипотенуза}}}\), чтобы найти радиус цилиндра. В данном случае, у нас нет информации о гипотенузе, но мы можем использовать диагональ в качестве гипотенузы треугольника.

Итак, \(\sin 30^\circ = \frac{r}{20}\), где \(r\) - радиус цилиндра. Значение синуса \(30^\circ\) равно \(\frac{1}{2}\), поэтому мы можем записать \(\frac{1}{2} = \frac{r}{20}\).

Теперь давайте решим это уравнение относительно \(r\). Умножим обе стороны на \(20\):

\[1 \cdot 20 = \frac{r}{2} \cdot 20\]

\[20 = 10r\]

\[r = 2\]

Мы нашли радиус цилиндра \(r = 2\) см.

Теперь, чтобы найти высоту цилиндра \(h\), мы можем использовать теорему Пифагора.

По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы. В нашем случае, катеты равны радиусу цилиндра \(2\) см и высоте цилиндра \(h\) см.

Таким образом, мы можем записать уравнение:

\[2^2 + h^2 = 20^2\]

\[4 + h^2 = 400\]

\[h^2 = 400 - 4\]

\[h^2 = 396\]

\[h = \sqrt{396}\]

Мы нашли высоту цилиндра \(h = \sqrt{396}\) см.

Теперь давайте упростим значение высоты. \(\sqrt{396}\) - это приближенное значение квадратного корня числа \(396\).

Таким образом, высота цилиндра \(h \approx 19.9\) см (округлим до одной десятой).

Итак, ответ: высота цилиндра составляет примерно \(19.9\) см.