Если боковая сторона трапеции перпендикулярна её диагонали, а угол между боковой стороной и большим основанием трапеции

Давайте решим эту задачу пошагово.

Для начала, рассмотрим заданную трапецию и обозначим ее основания как \(AB\) и \(CD\), где \(AB\) является большим основанием, а \(CD\) - меньшим основанием. Пусть боковая сторона \(BC\) перпендикулярна диагонали \(AC\).

Также дано, что угол между стороной \(BC\) и основанием \(AB\) равен \(\alpha\). Обозначим радиус окружности, описанной около этой трапеции, как \(R\).

Так как боковая сторона \(BC\) перпендикулярна диагонали \(AC\), то треугольник \(ABC\) является прямоугольным. Теперь мы можем использовать свойства прямоугольного треугольника для нахождения радиуса окружности.

Из прямоугольного треугольника \(ABC\) мы можем найти гипотенузу \(AB\) по формуле Пифагора. Гипотенуза треугольника равна длине диагонали трапеции \(AC\). Обозначим длину диагонали как \(d\). Тогда получаем:

\[AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{d^2 + h^2},\]

где \(h\) - высота трапеции.

Мы знаем, что угол между боковой стороной \(BC\) и большим основанием \(AB\) равен \(\alpha\). Для нахождения радиуса окружности, описанной около трапеции, мы можем использовать теорему синусов в треугольнике \(ABC\). Эта теорема утверждает, что отношение длины стороны треугольника к синусу противолежащего ей угла равно удвоенному радиусу окружности, описанной около этого треугольника.

Применяя теорему синусов к треугольнику \(ABC\) и используя обозначенные ранее значения, мы получаем:

\(\frac{AB}{\sin \alpha} = 2R.\)

Теперь у нас есть два уравнения:

\[AB = \sqrt{d^2 + h^2},\]
\(\frac{AB}{\sin \alpha} = 2R.\)

Мы можем решить эту систему уравнений относительно радиуса \(R\).

\[AB = \sqrt{d^2 + h^2} \Rightarrow AB^2 = d^2 + h^2,\]
\(\frac{AB}{\sin \alpha} = 2R \Rightarrow AB = 2R \sin \alpha.\)

Подставив второе уравнение в первое, получим:

\((2R \sin \alpha)^2 = d^2 + h^2,\)
\(4R^2 \sin^2 \alpha = d^2 + h^2.\)

Теперь мы можем решить это уравнение относительно радиуса \(R\):

\[R^2 = \frac{d^2 + h^2}{4 \sin^2 \alpha},\]
\[R = \sqrt{\frac{d^2 + h^2}{4 \sin^2 \alpha}}.\]

Таким образом, радиус окружности, описанной около данной трапеции, равен \(\sqrt{\frac{d^2 + h^2}{4 \sin^2 \alpha}}\).