Какова высота башни, если давление внизу составляет 75 мм рт. ст., а на вершине горы - 65 мм рт. ст.?

Чтобы узнать высоту башни, мы можем использовать формулу для изменения давления с высотой в потоке без перемешивания. Эта формула известна как формула гидростатического давления:

\[
\Delta P = \rho \cdot g \cdot h
\]

где \(\Delta P\) - изменение давления, \(\rho\) - плотность жидкости, \(g\) - ускорение свободного падения, \(h\) - высота столба жидкости.

В этой задаче, давление внизу составляет 75 мм рт. ст., а на вершине горы - 65 мм рт. ст. Мы должны вычислить разницу давления \(\Delta P\) и использовать её в формуле, чтобы найти высоту башни \(h\).

Разница давления \(\Delta P\) равна разнице давления на вершине и давления внизу:

\[
\Delta P = P_{\text{вершина}} - P_{\text{низ}}
\]

\[
\Delta P = 65 \, \text{мм рт. ст.} - 75 \, \text{мм рт. ст.} = -10 \, \text{мм рт. ст.}
\]

Отрицательное значение разницы давления означает, что давление уменьшилось по направлению вверх.

Мы знаем, что плотность воздуха (приблизительно) постоянна на маленькой высоте над поверхностью Земли, поэтому мы можем считать \(\rho\) постоянным. Значение ускорения свободного падения \(g\) также можно принять постоянным. Таким образом, формула примет следующий вид:

\[
\Delta P = \rho \cdot g \cdot h
\]

Поскольку \(\rho\) и \(g\) постоянны, мы можем записать:

\[
\frac{{\Delta P}}{{\rho \cdot g}} = h
\]

Подставим значения:

\[
h = \frac{{-10 \, \text{мм рт. ст.}}}{{\rho \cdot g}}
\]

Правильно выразим отрицательную разницу давления в Паскалях (поскольку миллиметры рт. ст. не являются международной системой единиц):

\[
h = \frac{{-10 \times 9.807 \, \text{Па}}}{{\rho \cdot 1000 \, \text{кг/м}^3}}
\]

Выразим плотность воздуха \(\rho\) через стандартное атмосферное давление \(P_0\), газовую постоянную \(R\), и температуру \(T\):

\[
\rho = \frac{{P_0 \cdot M}}{{R \cdot T}}
\]

где \(M\) - молярная масса воздуха.

Оценим плотность воздуха на поверхности Земли при стандартных условиях. Приблизительно:

\[
P_0 = 101325 \, \text{Па} \quad \text{(стандартное атмосферное давление)}
\]
\[
M = 0.02897 \, \text{кг/моль} \quad \text{(молярная масса воздуха)}
\]
\[
R = 8.314 \, \text{Дж/(моль К)} \quad \text{(газовая постоянная)}
\]
\[
T = 273.15 \, \text{К} \quad \text{(температура в абсолютных единицах)}
\]

Подставим значения:

\[
\rho = \frac{{101325 \, \text{Па} \cdot 0.02897 \, \text{кг/моль}}}{{8.314 \, \text{Дж/(моль К)} \cdot 273.15 \, \text{К}}} \approx 1.225 \, \text{кг/м}^3
\]

Теперь мы можем вычислить высоту башни \(h\):

\[
h = \frac{{-10 \times 9.807 \, \text{Па}}}{{1.225 \, \text{кг/м}^3 \cdot 1000 \, \text{кг/м}^3}} \approx -80.16 \, \text{м}
\]

Итак, получается, что высота башни примерно равна 80.16 метра, при условии, что давление уменьшилось на 10 миллиметров ртутного столба. Отрицательный знак указывает на то, что давление уменьшается по направлению вверх. Поскольку задача не указывает, на какой высоте находится база башни, считаем, что изначально давление там равно нулю, и тогда задача сводится к нахождению высоты горы.