Какова вероятность выбрать болванку, которая не содержит дефекта, если литье в болванках поступает из двух цехов

чех имеет 8% брака?

Чтобы решить эту задачу, нам нужно использовать понятие условной вероятности. Обозначим событие "выбрана болванка без дефекта" как А и событие "болванка поступила из первого цеха" как В. Мы хотим найти вероятность события A при условии события B, то есть \(P(A|B)\).

Из условия задачи мы знаем, что первый цех поставляет в пять раз больше болванок, чем второй цех. Пусть общее количество болванок, поступающих в первый цех, будет обозначено как \(n_1\), а во второй цех - как \(n_2\). Также мы знаем, что вероятность брака в первом цехе составляет 5%, а во втором цехе - 8%.

Итак, для решения задачи нам необходимо использовать формулу условной вероятности:

\[P(A|B) = \frac{{P(A \cap B)}}{{P(B)}}\]

Теперь разберемся с каждой частью этой формулы.

1. Найдем вероятность события A при условии события B (\(P(A \cap B)\)):
Мы знаем, что вероятность выбора болванки без дефекта из первого цеха составляет 1 минус вероятность выбора бракованной болванки, то есть 1 минус 5% или 0,95. Таким образом, вероятность события A при условии B для болванок из первого цеха равна 0,95.

Аналогично, вероятность выбора болванки без дефекта из второго цеха составляет 1 минус вероятность выбора бракованной болванки, то есть 1 минус 8% или 0,92. Таким образом, вероятность события A при условии B для болванок из второго цеха равна 0,92.

2. Найдем вероятность события B (\(P(B)\)):
Мы знаем, что первый цех поставляет болванки в пять раз больше, чем второй цех. То есть отношение количества болванок из первого цеха (\(n_1\)) к количеству болванок из второго цеха (\(n_2\)) равно 5 к 1. То есть \(n_1 = 5n_2\).

Вероятность выбора болванки из первого цеха составляет общее количество болванок из первого цеха (\(n_1\)) поделить на общее количество болванок из обоих цехов (\(n_1 + n_2\)). Таким образом, \(P(B)\) равно:

\[P(B) = \frac{{n_1}}{{n_1 + n_2}} = \frac{{5n_2}}{{5n_2 + n_2}} = \frac{{5}}{{6}}\]

Аналогично, вероятность выбора болванки из второго цеха составляет общее количество болванок из второго цеха (\(n_2\)) поделить на общее количество болванок из обоих цехов (\(n_1 + n_2\)). Таким образом, \(P(B)\) равно:

\[P(B) = \frac{{n_2}}{{n_1 + n_2}} = \frac{{n_2}}{{5n_2 + n_2}} = \frac{{1}}{{6}}\]

Теперь мы можем вычислить искомую вероятность:

Для болванок из первого цеха:
\[P(A|B) = \frac{{P(A \cap B)}}{{P(B)}} = \frac{{0,95 \cdot \frac{{5}}{{6}}}}{{\frac{{1}}{{6}}}} = 0,95 \cdot 5 = 4,75\]

Для болванок из второго цеха:
\[P(A|B) = \frac{{P(A \cap B)}}{{P(B)}} = \frac{{0,92 \cdot \frac{{1}}{{6}}}}{{\frac{{1}}{{6}}}} = 0,92\]

Итак, вероятность выбора болванки без дефекта из первого цеха составляет 4,75, а из второго цеха - 0,92.