Какова вероятность выбора трех телевизоров из 10, включая 2 неисправных? Построить график функции распределения числа

Для решения данной задачи, нам необходимо воспользоваться комбинаторикой и вероятностными понятиями.

1. Расчет вероятности выбора трех телевизоров из 10:

В данном случае нам известно, что в выборке имеется 10 телевизоров, из которых 2 неисправных. То есть, мы должны выбрать 3 телевизора из множества состоящего из 10 телевизоров. При этом, желательно выбирать только исправные.

Количество способов выбрать 3 телевизора из 10 можно рассчитать с помощью комбинаций, с помощью формулы:

\[
C_n^k = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}
\]

где \( C_n^k \) - количество комбинаций, \( n \) - общее количество элементов множества, а \( k \) - количество элементов, которые мы хотим выбрать.

Применяя формулу комбинаторики, получим:

\[
C_{10}^3 = \frac{{10!}}{{3!(10-3)!}} = \frac{{10!}}{{3! \cdot 7!}} = \frac{{10 \cdot 9 \cdot 8}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} = 120
\]

Таким образом, существует 120 различных комбинаций выбора 3 телевизоров из 10.

Однако, изначально была поставлена задача выбрать только исправные телевизоры. Из 10 телевизоров, 2 из них неисправны, т.е. удалось бы получить 2 исправных телевизора и 1 неисправный телевизор. Количество комбинаций выбора 2 исправных телевизоров из 8 и 1 неисправного телевизора из 2 будет выглядеть следующим образом:

\[
C_8^2 \cdot C_2^1 = \frac{{8!}}{{2!(8-2)!}} \cdot \frac{{2!}}{{1!(2-1)!}} = \frac{{8!}}{{2! \cdot 6!}} \cdot \frac{{2!}}{{1! \cdot 1!}} = \frac{{8 \cdot 7}}{{2 \cdot 1}} \cdot 2 = 56
\]

Таким образом, вероятность выбора трех телевизоров, включая 2 неисправных, будет равна отношению количества комбинаций выбора 2 исправных телевизоров из 8 и 1 неисправного телевизора из 2 к общему числу комбинаций:

\[
P = \frac{{C_8^2 \cdot C_2^1}}{{C_{10}^3}} = \frac{{56}}{{120}} = \frac{{7}}{{15}}
\]

Таким образом, вероятность выбора трех телевизоров из 10, включая 2 неисправных, будет равна \(\frac{{7}}{{15}}\).

2. Построение графика функции распределения числа неисправных телевизоров в выборке:

Для построения графика функции распределения числа неисправных телевизоров в выборке необходимо рассмотреть все возможные значения количества неисправных телевизоров от 0 до 3 и рассчитать вероятность для каждого значения.

Таким образом, получим следующие значение вероятности:

Для 0 неисправных телевизоров: \(P(X = 0) = C_8^3 \cdot C_2^0 / C_{10}^3\)
Для 1 неисправного телевизора: \(P(X = 1) = C_8^2 \cdot C_2^1 / C_{10}^3\)
Для 2 неисправных телевизоров: \(P(X = 2) = C_8^1 \cdot C_2^2 / C_{10}^3\)
Для 3 неисправных телевизоров: \(P(X = 3) = C_8^0 \cdot C_2^3 / C_{10}^3\)

Подставив значения комбинаций, получим следующие результаты:

\(P(X = 0) = \frac{{8 \cdot 7 \cdot 6}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} \cdot 1 = \frac{{56}}{{120}}\)

\(P(X = 1) = \frac{{8 \cdot 7 \cdot 2}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} \cdot 2 = \frac{{56}}{{120}}\)

\(P(X = 2) = \frac{{8 \cdot 1 \cdot 2}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} \cdot 2 = \frac{{8}}{{120}}\)

\(P(X = 3) = \frac{{1 \cdot 2 \cdot 1}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} \cdot 1 = \frac{{2}}{{120}}\)

Теперь, имея значения вероятности, мы можем построить график функции распределения числа неисправных телевизоров в выборке:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
X & P(X) \\
\hline
0 & \frac{{56}}{{120}} \\
\hline
1 & \frac{{56}}{{120}} \\
\hline
2 & \frac{{8}}{{120}} \\
\hline
3 & \frac{{2}}{{120}} \\
\hline
\end{array}
\]

Используя эти значения, на графике мы отметим на оси абсцисс значения 0, 1, 2, 3, а на оси ординат соответствующие вероятности \( \frac{{56}}{{120}} \), \( \frac{{56}}{{120}} \), \( \frac{{8}}{{120}} \), \( \frac{{2}}{{120}} \). Далее, соединим полученные точки, чтобы получить график функции распределения.