Какова вероятность выбора 1 девушки и 2 юношей из туристической группы, состоящей из 10 юношей и 6 девушек, при выборе

Для решения данной задачи, мы можем использовать комбинаторику и принципы вероятности.

Сначала найдем общее количество способов выбрать 3 человека из группы, состоящей из 16 человек. Мы можем использовать формулу сочетаний для этого. Формула сочетаний определяется как:

\[
C_n^k = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}
\]

где \(n\) - общее количество объектов (16 в нашем случае), а \(k\) - количество объектов, которые мы выбираем (3 в нашем случае).

Применяя эту формулу, мы можем найти общее количество способов выбрать 3 человека:

\[
C_{16}^3 = \frac{{16!}}{{3!(16-3)!}} = \frac{{16!}}{{3!13!}}
\]

Теперь нам нужно найти способы выбрать 1 девушку и 2 юношей из группы. Чтобы это сделать, мы можем использовать формулу произведения вероятностей.

Вероятность выбора 1 девушки из 6 девушек равна \(P(\text{{девушка}}) = \frac{{C_6^1}}{{C_{16}^3}}\), так как нам нужно выбрать только 1 девушку.

Вероятность выбора 2 юношей из 10 юношей равна \(P(\text{{юноши}}) = \frac{{C_{10}^2}}{{C_{16}^3}}\), так как нам нужно выбрать 2 юношей.

Так как эти события независимы, мы можем использовать формулу произведения вероятностей для нахождения общей вероятности выбора 1 девушки и 2 юношей:

\[
P(\text{{1 девушка и 2 юноши}}) = P(\text{{девушка}}) \times P(\text{{юноши}})
\]

Теперь мы можем вычислить эти вероятности:

\[
P(\text{{девушка}}) = \frac{{C_6^1}}{{C_{16}^3}} = \frac{{6!}}{{1!(6-1)!}} \times \frac{{3!(16-3)!}}{{16!}} = \frac{{6 \times 13 \times 14}}{{16 \times 15 \times 14}} = \frac{{13}}{{120}}
\]

\[
P(\text{{юноши}}) = \frac{{C_{10}^2}}{{C_{16}^3}} = \frac{{10!}}{{2!(10-2)!}} \times \frac{{3!(16-3)!}}{{16!}} = \frac{{10 \times 9}}{{16 \times 15}} = \frac{{3}}{{8}}
\]

Теперь мы можем найти общую вероятность:

\[
P(\text{{1 девушка и 2 юноши}}) = P(\text{{девушка}}) \times P(\text{{юноши}}) = \frac{{13}}{{120}} \times \frac{{3}}{{8}} = \frac{{13}}{{320}}
\]

Следовательно, вероятность выбора 1 девушки и 2 юношей из данной туристической группы, состоящей из 10 юношей и 6 девушек, при выборе 3 дежурных методом жребия, составляет \(\frac{{13}}{{320}}\).