Какова вероятность того, что Юра, Боря и Егор окажутся в разных подгруппах, при случайном разбиении 15 туристов

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать комбинаторику и принципы сочетаний. Давайте разберемся подробнее.

У нас есть 15 туристов, которых мы должны разделить на три равные подгруппы. Для определения вероятности того, что Юра, Боря и Егор окажутся в разных подгруппах, мы должны сначала найти общее количество способов разделить 15 туристов на три равные подгруппы.

Чтобы это сделать, мы можем использовать формулу сочетания для расчета количества способов выбрать определенное количество элементов из общего множества. Формула сочетания выглядит следующим образом:

\[{n \choose r} = \frac{{n!}}{{r!(n-r)!}}\]

Где \(n\) - общее количество элементов, а \(r\) - количество элементов, которые мы выбираем.

В нашем случае, \(n = 15\) (общее количество туристов) и \(r = 5\) (количество туристов в каждой подгруппе, поскольку у нас три равные подгруппы из пяти человек).

Поскольку каждая из подгрупп должна содержать Юру, Борю и Егора, мы можем выбрать их из множества туристов, оставшихся после выбора для подгрупп. Количество способов выбрать Юру, Борю и Егора из множества 15 туристов равно \(3!\) (факториал 3).

Теперь мы можем вычислить количество способов разделить 15 туристов на три равные подгруппы, так как Юра, Боря и Егор находятся в разных группах.

Количество способов разделить 15 туристов на три равные подгруппы с учетом требования, что Юра, Боря и Егор находятся в разных подгруппах, можно выразить следующим образом:

\[N = \frac{{15!}}{{(5!)^3 \cdot 3!}}\]

Теперь нам нужно найти общее количество способов разделить 15 туристов на три равные подгруппы без ограничений. Мы можем использовать аналогичное выражение, но без требования, что Юра, Боря и Егор находятся в разных подгруппах.

Количество способов разделить 15 туристов на три равные подгруппы без ограничений можно выразить следующим образом:

\[M = \frac{{15!}}{{(5!)^3}}\]

Теперь, чтобы найти вероятность того, что Юра, Боря и Егор окажутся в разных подгруппах, мы должны поделить количество способов разделить 15 туристов на три равные подгруппы, удовлетворяющих условию, на общее количество способов разделить 15 туристов на три равные подгруппы без ограничений.

\[P = \frac{N}{M}\]

Подставив значения для \(N\) и \(M\), получим:

\[P = \frac{{\frac{{15!}}{{(5!)^3 \cdot 3!}}}}{{\frac{{15!}}{{(5!)^3}}}}\]

Упростим выражение:

\[P = \frac{{\cancel{15!}}}{{\cancel{(5!)^3} \cdot \cancel{3!}}} = \frac{1}{3}\]

Таким образом, вероятность того, что Юра, Боря и Егор окажутся в разных подгруппах при случайном разбиении 15 туристов на три равные подгруппы, равна \(\frac{1}{3}\).