1) Rewrite the expression 14^-6*14^-12/14^-17 without negative exponents. 2) Transform the expression 81^-3*27^-5/9^-12

1) Давайте перепишем выражение с отрицательными показателями степеней:
\[14^{-6} \cdot 14^{-12} \div 14^{-17}\]

Сначала посмотрим на степень \(14^{-6}\). Чтобы избавиться от отрицательного показателя степени, мы можем поместить \(14^{-6}\) в знаменатель и сделать показатель положительным:
\[14^{-6} = \frac{1}{14^6}\]

Аналогично, для \(14^{-12}\) и \(14^{-17}\) мы также можем поменять знак показателей степеней:
\[14^{-12} = \frac{1}{14^{12}}\]
\[14^{-17} = \frac{1}{14^{17}}\]

Теперь, когда у нас нет отрицательных показателей, мы можем записать исходное выражение следующим образом:
\[14^{-6} \cdot 14^{-12} \div 14^{-17} = \frac{1}{14^6} \cdot \frac{1}{14^{12}} \div \frac{1}{14^{17}}\]

Мы можем использовать правило для деления степеней с одинаковым основанием, вычитая показатели степеней:
\[\frac{1}{14^6} \cdot \frac{1}{14^{12}} \div \frac{1}{14^{17}} = 14^{17-6-12} = 14^{-1}\]

Итак, выражение \(14^{-6} \cdot 14^{-12} \div 14^{-17}\) без отрицательных показателей степеней равно \(14^{-1}\).

2) Давайте преобразуем выражение \(81^{-3} \cdot 27^{-5} \div 9^{-12}\), чтобы избавиться от отрицательных показателей степеней.

Сначала посмотрим на степень \(81^{-3}\). Мы можем записать его в виде:
\[81^{-3} = \left(\frac{1}{81}\right)^3\]

Теперь рассмотрим степень \(27^{-5}\) и выразим ее как:
\[27^{-5} = \left(\frac{1}{27}\right)^5\]

Наконец, для степени \(9^{-12}\) используем следующую запись:
\[9^{-12} = \left(\frac{1}{9}\right)^{12}\]

Теперь мы можем переписать исходное выражение следующим образом:
\[81^{-3} \cdot 27^{-5} \div 9^{-12} = \left(\frac{1}{81}\right)^3 \cdot \left(\frac{1}{27}\right)^5 \div \left(\frac{1}{9}\right)^{12}\]

Используя правило произведения и деления степеней с одинаковым основанием, мы можем записать:
\[\left(\frac{1}{81}\right)^3 \cdot \left(\frac{1}{27}\right)^5 \div \left(\frac{1}{9}\right)^{12} = \frac{1^3}{81^3} \cdot \frac{1^5}{27^5} \div \frac{1^{12}}{9^{12}}\]

Подсчитаем значения в числителе и знаменателе:
\[\frac{1^3}{81^3} = \frac{1}{81^3} = \frac{1}{531441}\]
\[\frac{1^5}{27^5} = \frac{1}{27^5} = \frac{1}{14348907}\]
\[\frac{1^{12}}{9^{12}} = \frac{1}{9^{12}} = \frac{1}{282429536481}\]

Подставим значения обратно в исходное выражение:
\[\frac{1}{81^3} \cdot \frac{1}{27^5} \div \frac{1}{9^{12}} = \frac{1}{531441} \cdot \frac{1}{14348907} \div \frac{1}{282429536481}\]

Итак, выражение \(81^{-3} \cdot 27^{-5} \div 9^{-12}\) без отрицательных показателей степеней равно \(\frac{1}{531441} \cdot \frac{1}{14348907} \div \frac{1}{282429536481}\).

3) Давайте переупорядочим выражение \((-5/6a^{-9}b^{-5})^{-3} \cdot (6a^{15}b^6)^{-2}\), чтобы избавиться от отрицательных показателей степеней.

Сначала рассмотрим выражение \((-5/6a^{-9}b^{-5})^{-3}\). Мы можем записать его в виде:
\[\left(\frac{-5}{6a^{-9}b^{-5}}\right)^{-3}\]

Чтобы избавиться от обратных показателей степеней, мы можем перенести в числитель основание \(a^{-9}\) и сделать показатель степени положительным:
\[a^{-9} = \frac{1}{a^9}\]

Также перенесем в числитель основание \(b^{-5}\) и сделаем показатель степени положительным:
\[b^{-5} = \frac{1}{b^5}\]

Теперь мы можем переписать исходное выражение следующим образом:
\[\left(\frac{-5}{6a^{-9}b^{-5}}\right)^{-3} \cdot (6a^{15}b^6)^{-2} = \left(\frac{-5}{6 \cdot \frac{1}{a^9} \cdot \frac{1}{b^5}}\right)^{-3} \cdot (6a^{15}b^6)^{-2}\]

Упростим выражение в числителе:
\[\frac{1}{a^9} = a^{-9}\]
\[\frac{1}{b^5} = b^{-5}\]

Подставим упрощенные значения назад в исходное выражение:
\[\left(\frac{-5}{6 \cdot \frac{1}{a^9} \cdot \frac{1}{b^5}}\right)^{-3} \cdot (6a^{15}b^6)^{-2} = \left(\frac{-5}{6 \cdot a^{-9} \cdot b^{-5}}\right)^{-3} \cdot (6a^{15}b^6)^{-2}\]

Теперь применим правило произведения степеней с одинаковым основанием и отдельно упростим числитель и знаменатель выражения в скобках:
\[\left(\frac{-5}{6 \cdot a^{-9} \cdot b^{-5}}\right)^{-3} \cdot (6a^{15}b^6)^{-2} = \frac{\left(\frac{-5}{6}\right)^{-3}}{(a^{-9})^{-3} \cdot (b^{-5})^{-3}} \cdot \left((6a^{15}b^6)^{-2}\right)\]

Упростим значение в скобках:
\[\frac{\left(\frac{-5}{6}\right)^{-3}}{(a^{-9})^{-3} \cdot (b^{-5})^{-3}} = (-1)^{-3} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{-3} \cdot a^{9 \cdot 3} \cdot b^{5 \cdot 3}\]

Запишем значение в скобках в виде:
\[(-1)^{-3} = -1\]
\[\left(\frac{5}{6}\right)^{-3} = \left(\frac{6}{5}\right)^{3} = \frac{6^3}{5^3} = \frac{216}{125}\]
\[a^{9 \cdot 3} = a^{27}\]
\[b^{5 \cdot 3} = b^{15}\]

Теперь мы можем записать наше выражение без отрицательных показателей степеней:
\[\frac{\left(\frac{-5}{6}\right)^{-3}}{(a^{-9})^{-3} \cdot (b^{-5})^{-3}} \cdot \left((6a^{15}b^6)^{-2}\right) = -1 \cdot \frac{216}{125} \cdot a^{27} \cdot b^{15} \cdot (6a^{15}b^6)^{-2}\]

Итак, переупорядоченное выражение \((-5/6a^{-9}b^{-5})^{-3} \cdot (6a^{15}b^6)^{-2}\) без отрицательных показателей степеней равно \(-1 \cdot \frac{216}{125} \cdot a^{27} \cdot b^{15} \cdot \left((6a^{15}b^6)^{-2}\right)\).