Какова вероятность того, что все три урны будут содержать по одному шару при случайном распределении четырех шаров?

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом.

У нас есть три урны и четыре шара. Наша задача - найти вероятность того, что каждая урна будет содержать по одному шару при случайном распределении.

Чтобы решить эту задачу, нам нужно найти общее количество возможных способов рассадки шаров и количество способов, при которых каждая урна содержит по одному шару.

Посмотрим на общее количество возможных способов рассадки шаров. У нас есть 4 шара и 3 урны. Каждый шар мы можем разместить в любой из трех урн. Следовательно, общее количество способов рассадки шаров будет равно \(3^4\), так как у нас есть 3 варианта для каждого шара.

Теперь давайте найдем количество способов, при которых каждая урна содержит по одному шару. Нам нужно разместить 4 шара так, чтобы каждый шар оказался в отдельной урне. Для этого мы можем использовать принцип умножения.

Сначала выберем урну для первого шара - у нас есть 3 варианта. Затем выберем урну для второго шара - у нас останется 2 варианта, так как мы не можем выбрать урну, в которую уже поместили первый шар. Для третьего шара останется только 1 вариант. Наконец, для четвертого шара у нас не останется вариантов.

Итак, общее количество способов, при которых каждая урна содержит по одному шару, равно \(3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 = 6\).

Теперь мы можем найти вероятность, разделив количество способов, при которых каждая урна содержит по одному шару, на общее количество возможных способов рассадки шаров:

\[
P = \frac{{\text{{Количество способов, при которых каждая урна содержит по одному шару}}}}{{\text{{Общее количество возможных способов рассадки шаров}}}}} = \frac{6}{{3^4}}
\]

Рассчитаем это численно:

\[
P = \frac{6}{81} = \frac{2}{27}
\]

Таким образом, вероятность того, что все три урны будут содержать по одному шару при случайном распределении четырех шаров, равна \(\frac{2}{27}\).