Какова вероятность того, что в течение года перегорит от одной до трëх лампочек?

Чтобы решить эту задачу, нам нужно рассмотреть все возможные варианты перегорания лампочек и определить вероятности каждого из них.

Перед тем, как начать, предположим, что вероятность перегорания каждой лампочки в течение года одинакова и равна \(p\).

1. Вероятность того, что ни одна лампочка не перегорит:
Поскольку у нас есть несколько лампочек, каждая из которых может перегореть с вероятностью \(p\), вероятность того, что ни одна лампочка не перегорит, равна произведению вероятностей того, что каждая отдельная лампочка не перегорит. Так как у нас есть \(n\) лампочек (в данной задаче \(n = 3\)), вероятность того, что ни одна лампочка не перегорит, равна \((1-p)^n\).

2. Вероятность того, что перегорит ровно одна лампочка:
Для этого случая мы можем найти вероятность того, что первая лампочка перегорит, а остальные две останутся работать. Затем мы можем умножить это на вероятность того, что первая лампочка не перегорит, а остальные две перегорят, и так далее для каждой из трех лампочек. Так как у нас есть \(n\) лампочек, вероятность перегорания только одной лампочки равна \(n \cdot p \cdot (1-p)^{n-1}\).

3. Вероятность того, что перегорят ровно две лампочки:
Для этого случая мы можем выбрать две из трех лампочек, которые перегорят, а одна останется работать. Затем мы умножаем это на вероятность того, что выбранные лампочки перегорят, а оставшаяся нет. Таким образом, вероятность перегорания ровно двух лампочек равна \(\binom{n}{2} \cdot p^2 \cdot (1-p)^{n-2}\).

4. Вероятность того, что перегорят ровно три лампочки:
В данной задаче мы предполагаем, что ни одна лампочка не перегорает одновременно с другими. Следовательно, вероятность того, что все три лампочки перегорят, равна \(p^3\).

Теперь, чтобы найти итоговую вероятность перегорания от одной до трех лампочек, мы должны сложить вероятности для каждого из четырех случаев:
\[
\text{{Вероятность}} = (1-p)^n + n \cdot p \cdot (1-p)^{n-1} + \binom{n}{2} \cdot p^2 \cdot (1-p)^{n-2} + p^3
\]

Это и будет искомый ответ.