Какова вероятность того, что у третьего студента будет хороший билет? Пожалуйста, запишите ответ в виде несократимой

Хорошо! Давайте решим эту задачу пошагово.

Для начала, нам нужно знать, сколько всего студентов участвует в розыгрыше билетов. Пусть общее количество студентов будет равно \(N\).

Далее, предположим, что все билеты считаются одинаковыми и розыгрываются случайным образом. С каждым билетом может быть связано только два возможных статуса: "хороший" или "плохой". Обозначим вероятность того, что билет будет "хорошим" как \(P(H)\) (где \(P\) — сокращение для английского слова "probability", то есть "вероятность").

Теперь, чтобы найти вероятность того, что у третьего студента будет "хороший" билет, нам нужно разделить количество вариантов, в которых третий студент получает "хороший" билет, на общее количество возможных вариантов.

Поскольку каждому студенту может выпасть только один билет, научимся считать количество вариантов, в которых третий студент получает "хороший" билет.

Первый шаг: мы должны выбрать третьего студента из общего количества студентов. Это можно сделать \({N \choose 3}\) способами. Чтобы найти \({N \choose 3}\), мы можем использовать формулу для комбинаторики:

\[{N \choose k} = \frac{N!} {k!(N-k)!}\]

где \(N!\) обозначает факториал числа \(N\).

Второй шаг: после выбора третьего студента, нам нужно учесть, что у него должен быть "хороший" билет. Вероятность того, что билет будет "хорошим" в данном случае равна \(P(H)\).

Третий шаг: остается выбрать двух студентов из оставшихся \(N-1\) студентов, чтобы они получили "хорошие" билеты. Количество вариантов выбора двух студентов можно выразить как \({N-1 \choose 2}\).

Таким образом, общее количество вариантов, в которых третий студент получает "хороший" билет, равно \({N \choose 3} \cdot P(H) \cdot {N-1 \choose 2}\).

И, наконец, искомая вероятность будет равна отношению количества вариантов, в которых третий студент получает "хороший" билет, к общему количеству вариантов. То есть:

\[P(третий\,студент\,получит\, "хороший" \,билет) = \frac{{N \choose 3} \cdot P(H) \cdot {N-1 \choose 2}}{{N \choose 3}}\]

Теперь можно сократить общий множитель \({N \choose 3}\) в числителе и знаменателе:

\[P(третий\,студент\,получит\, "хороший" \,билет) = \frac{P(H) \cdot {N-1 \choose 2}}{{N \choose 3}}\]

Таким образом, вероятность того, что третий студент получит "хороший" билет, записанная в виде несократимой дроби, будет равна \(\frac{P(H) \cdot {N-1 \choose 2}}{{N \choose 3}}\).