Какова вероятность того, что точность средней продолжительности горения 15 ламп, определенная на основе контрольных

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо использовать нормальное распределение и его свойство, что среднее значение большой выборки будет приближаться к нормальному распределению.

Пусть \(\mu\) - среднее значение продолжительности горения одной лампы, а \(\sigma\) - стандартное отклонение продолжительности горения лампы.

Тогда среднее значение продолжительности горения 15 ламп, \(\bar{X}\), можно приближенно считать нормально распределенной величиной с параметрами \(\mu\) и \(\frac{\sigma}{\sqrt{15}}\).

Теперь зададим предельные значения. Пусть предельное значение продолжительности горения одной лампы будет равно \(\mu_1\) (нижняя граница) и \(\mu_2\) (верхняя граница).

Тогда задачу можно сформулировать следующим образом: нам необходимо найти вероятность того, что выборочное среднее значение продолжительности горения 15 ламп, \(\bar{X}\), будет попадать в интервал между \(\mu_1\) и \(\mu_2\).

Математически это можно записать как:
\[P(\mu_1 < \bar{X} < \mu_2) = P\left(\frac{\mu_1 - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{15}}} < \frac{\bar{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{15}}} < \frac{\mu_2 - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{15}}}\right)\]

Так как \(\frac{\bar{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{15}}}\) будет приближенно иметь стандартное нормальное распределение, мы можем использовать таблицы нормального распределения или статистические программы для нахождения вероятности.

Таблицы нормального распределения могут предоставить вероятность для стандартного нормального распределения \(Z\), где \(Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{15}}}\).

Давайте предположим, что мы нашли \(Z_1\) и \(Z_2\) из таблиц нормального распределения, такие что \(P(Z_1 < Z < Z_2)\) равняется значению, которое мы ищем.

Тогда мы можем рассчитать вероятность следующим образом:
\[P(\mu_1 < \bar{X} < \mu_2) = P(Z_1 < \frac{\bar{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{15}}} < Z_2)\]

Таким образом, ответ на задачу будет состоять из нахождения соответствующих значений \(Z_1\) и \(Z_2\) и вычисления их разности. Ответ будет представлять вероятность в виде некоторого числа между 0 и 1.

Заметим, что это лишь общий подход к решению задачи. Для полного решения необходимо знать значения точных данных, таких как значения \(\mu\), \(\sigma\), \(\mu_1\) и \(\mu_2\).