Какова вероятность того, что точность средней продолжительности горения 15 ламп, определенная на основе контрольных

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо использовать нормальное распределение и его свойство, что среднее значение большой выборки будет приближаться к нормальному распределению.

Пусть $\mu$ - среднее значение продолжительности горения одной лампы, а $\sigma$ - стандартное отклонение продолжительности горения лампы.

Тогда среднее значение продолжительности горения 15 ламп, $\overline{X}$, можно приближенно считать нормально распределенной величиной с параметрами $\mu$ и $\frac{\sigma }{\sqrt{15}}$.

Теперь зададим предельные значения. Пусть предельное значение продолжительности горения одной лампы будет равно ${\mu }_1$ (нижняя граница) и ${\mu }_2$ (верхняя граница).

Тогда задачу можно сформулировать следующим образом: нам необходимо найти вероятность того, что выборочное среднее значение продолжительности горения 15 ламп, $\overline{X}$, будет попадать в интервал между ${\mu }_1$ и ${\mu }_2$.

Математически это можно записать как:
$$P({\mu }_1<\overline{X}<{\mu }_2)=P(\frac{{\mu }_1-\mu }{\frac{\sigma }{\sqrt{15}}}<\frac{\overline{X}-\mu }{\frac{\sigma }{\sqrt{15}}}<\frac{{\mu }_2-\mu }{\frac{\sigma }{\sqrt{15}}})$$

Так как $\frac{\overline{X}-\mu }{\frac{\sigma }{\sqrt{15}}}$ будет приближенно иметь стандартное нормальное распределение, мы можем использовать таблицы нормального распределения или статистические программы для нахождения вероятности.

Таблицы нормального распределения могут предоставить вероятность для стандартного нормального распределения $Z$, где $Z=\frac{\overline{X}-\mu }{\frac{\sigma }{\sqrt{15}}}$.

Давайте предположим, что мы нашли $Z_1$ и $Z_2$ из таблиц нормального распределения, такие что $P(Z_1<Z<Z_2)$ равняется значению, которое мы ищем.

Тогда мы можем рассчитать вероятность следующим образом:
$$P({\mu }_1<\overline{X}<{\mu }_2)=P(Z_1<\frac{\overline{X}-\mu }{\frac{\sigma }{\sqrt{15}}}<Z_2)$$

Таким образом, ответ на задачу будет состоять из нахождения соответствующих значений $Z_1$ и $Z_2$ и вычисления их разности. Ответ будет представлять вероятность в виде некоторого числа между 0 и 1.

Заметим, что это лишь общий подход к решению задачи. Для полного решения необходимо знать значения точных данных, таких как значения $\mu$, $\sigma$, ${\mu }_1$ и ${\mu }_2$.