Какова вероятность того, что точка, случайно брошенная внутри квадрата, не попадет внутрь равнобедренного треугольника

Для решения этой задачи, нам необходимо рассмотреть геометрию фигур, в которых происходит размещение точки.

Итак, у нас есть квадрат, внутри которого вписан равнобедренный треугольник. Известно, что вершины треугольника лежат на серединах каждой стороны квадрата.

Чтобы точка не попала внутрь треугольника, она должна находиться в одной из четырех треугольных областей I, II, III или IV, расположенных в углах квадрата вне треугольника.

Чтобы найти вероятность этого события, мы должны сравнить площади областей I, II, III и IV с площадью квадрата.

Итак, для начала нам нужно найти площади областей I, II, III и IV.

Область I - это треугольник, имеющий в качестве вершин середины двух сторон квадрата и угол между этими сторонами. Площадь такого треугольника можно вычислить, используя формулу:

$$Площадь=\frac{1}{2}\times Основание\times Высота$$

Основание этого треугольника равно половине стороны квадрата, а высота - расстояние от одной из вершин следующего квадрата до середины противоположной стороны. При этом сторона квадрата равна его длине, поэтому основание и высота равны $\frac{сторона}{2}$:

$$ПлощадьI=\frac{1}{2}\times \frac{сторона}{2}\times \frac{сторона}{2}=\frac{сторон{а}^2}{8}$$

Отметим, что площади областей II, III и IV равны площади области I, так как они имеют одинаковую геометрию и размеры.

Теперь мы можем рассчитать площадь квадрата:

$$Площадьквадрата=сторон{а}^2$$

Отношение площади областей I, II, III и IV к площади квадрата даст нам искомую вероятность. Итак, вероятность попадания точки внутрь треугольника будет равна:

$$Вероятность=\frac{ПлощадьI+ПлощадьII+ПлощадьIII+ПлощадьIV}{Площадьквадрата}$$

Подставим значения в формулу:

$$Вероятность=\frac{4\times \frac{сторон{а}^2}{8}}{сторон{а}^2}=\frac{сторон{а}^2}{2\times сторон{а}^2}=\frac{1}{2}$$

Таким образом, вероятность того, что точка, случайно брошенная внутри квадрата, не попадет внутрь равнобедренного треугольника, вписанного в этот квадрат, составляет $\frac{1}{2}$, или 50%.