Какова вероятность того, что событие а произойдет 5 раз в серии из 7 независимых испытаний, если вероятность события

Чтобы решить эту задачу, нам нужно использовать формулу биномиального распределения. Вероятность того, что событие a произойдет k раз в серии из n испытаний, где вероятность события a в одном испытании равна p, задается по формуле:

\[P(k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

Где С(n, k) - число сочетаний из n по k.

В данной задаче у нас n = 7 (количество испытаний), k = 5 (количество раз, когда событие a произойдет), и p = 1/2 (вероятность события a в одном испытании).

Для начала, нам нужно вычислить число сочетаний C(7, 5). Формула для числа сочетаний задается следующим образом:

\[C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

Подставляя значения в данную формулу, получаем:

\[C(7, 5) = \frac{7!}{5!(7-5)!}\]

Раскрывая факториалы, получаем:

\[C(7, 5) = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5!}{5! \cdot 2 \cdot 1}\]

Сокращая факториалы, получаем:

\[C(7, 5) = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1}\]

Выполняем вычисления:

\[C(7, 5) = \frac{42}{2} = 21\]

Теперь, когда мы знаем значение C(7, 5), мы можем приступить к вычислению итоговой вероятности P(5).

\[P(5) = C(7, 5) \cdot (1/2)^5 \cdot (1-1/2)^{7-5}\]

Выполняем вычисления:

\[P(5) = 21 \cdot (1/2)^5 \cdot (1/2)^2\]

Упрощаем:

\[P(5) = 21 \cdot 1/32 \cdot 1/4\]

Умножаем числители и знаменатели:

\[P(5) = 21/128\]

Таким образом, вероятность того, что событие а произойдет 5 раз в серии из 7 независимых испытаний, при условии, что вероятность события а в одном испытании равна 1/2, составляет 21/128.

Если у вас возникли дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их. Я всегда готов помочь вам разобраться в учебных вопросах.