Какова вероятность того, что перегорит не менее пяти, но не менее двух лампочек за год?

Чтобы решить данную задачу, нужно знать вероятность отказа одной лампочки и использовать биномиальное распределение.

Пусть \(p\) - вероятность отказа одной лампочки в течение года, а \(n\) - общее число лампочек в системе. Для каждой лампочки вероятность, что она перегорит за год, будет равна \(p\), а вероятность, что она не перегорит, будет равна \(1-p\).

Мы хотим найти вероятность того, что перегорят не менее пяти, но не менее двух лампочки за год. Для этого мы можем просуммировать вероятности перегорания от двух до пяти лампочек:

\[\text{Вероятность} = P(X \geq 2) - P(X \geq 6)\]

где \(X\) - количество лампочек, которые перегорели за год.

Теперь рассмотрим первое слагаемое. Используем биномиальное распределение для нахождения вероятности перегорания от двух до пяти лампочек:

\[P(X \geq 2) = 1 - P(X < 2)\]

где \(P(X < 2)\) - вероятность того, что перегорит менее двух лампочек за год.

Найдем \(P(X < 2)\):

\[P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1)\]

Теперь применим формулу биномиального распределения, чтобы вычислить эти вероятности:

\[P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

где \(C_n^k\) - число сочетаний из \(n\) по \(k\).

Для \(P(X = 0)\), когда ни одна лампочка не перегорает, \(k = 0\):

\[P(X = 0) = C_n^0 \cdot p^0 \cdot (1-p)^n = (1-p)^n\]

Для \(P(X = 1)\), когда перегарает ровно одна лампочка, \(k = 1\):

\[P(X = 1) = C_n^1 \cdot p^1 \cdot (1-p)^{n-1} = n \cdot p \cdot (1-p)^{n-1}\]

Таким образом:

\[P(X < 2) = (1-p)^n + n \cdot p \cdot (1-p)^{n-1}\]

Итак, мы нашли \(P(X < 2)\). Теперь возьмем ее разность с единицей, чтобы получить \(P(X \geq 2)\), и затем вычтем \(P(X \geq 6)\).

Таким образом, мы найдем вероятность того, что перегорит не менее пяти, но не менее двух лампочек за год.