Какова вероятность того, что не более половины микросхем выйдут из строя в течение одного месяца, если в приборе

Дана задача о вероятности выхода из строя микросхем в приборе. Для решения этой задачи мы будем использовать биномиальное распределение.

Итак, пусть \(X\) - количество микросхем, которые выйдут из строя. В нашем случае, у нас есть 6 микросхем в приборе, и вероятность выхода каждой из них из строя составляет 0,2.

Формула для вероятности появления \(k\) успехов в серии из \(n\) независимых испытаний с вероятностью успеха \(p\) выглядит следующим образом:

\[P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

где \(C_n^k\) - биномиальный коэффициент, равный \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\).

В нашем случае, нам нужно найти вероятность того, что не более половины микросхем выйдут из строя. Это означает, что \(k\) может быть равно 0, 1, 2 или 3.

Давайте посчитаем вероятность появления этих значений по очереди и сложим их:

\[P(X \leq 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)\]

\[P(X = 0) = C_6^0 \cdot 0,2^0 \cdot (1-0,2)^6 = 1 \cdot 1 \cdot 0,8^6 = 0,262144\]

\[P(X = 1) = C_6^1 \cdot 0,2^1 \cdot (1-0,2)^5 = 6 \cdot 0,2 \cdot 0,8^5 = 0,393216\]

\[P(X = 2) = C_6^2 \cdot 0,2^2 \cdot (1-0,2)^4 = 15 \cdot 0,04 \cdot 0,8^4 = 0,2304\]

\[P(X = 3) = C_6^3 \cdot 0,2^3 \cdot (1-0,2)^3 = 20 \cdot 0,008 \cdot 0,8^3 = 0,0512\]

Теперь сложим все вероятности:

\[P(X \leq 3) = 0,262144 + 0,393216 + 0,2304 + 0,0512 = 0,93696\]

Таким образом, вероятность того, что не более половины микросхем выйдут из строя в течение одного месяца, составляет около 0,937 или около 93,7%.