Какова вероятность того, что книги по одной и той же теме окажутся рядом на случайной книжной полке, где произвольно

Чтобы решить эту задачу, мы должны определить общее количество способов разместить все книги на полке и количество способов, когда книги по одной теме располагаются рядом.

Давайте начнем с определения общего количества способов разместить все книги на полке. У нас есть 7 книг, поэтому первую книгу можно поставить на полку 7 способами. После того, как первая книга размещена, остается 6 способов разместить вторую книгу, и так далее. Поэтому общее количество способов будет равно произведению чисел 7, 6, 5, 4, 3, 2 и 1, также известного как факториал числа 7:

\[7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040.\]

Теперь давайте определим количество способов, когда книги по одной теме располагаются рядом. У нас две группы книг: 4 книги по теории вероятности и 3 книги по экономической теории. Для каждой группы книг мы можем переставить их внутри себя, но порядок группы должен оставаться неизменным. То есть у нас есть 4 способа разместить книги по теории вероятности между собой и 3 способа разместить книги по экономической теории между собой. Поэтому количество способов разместить книги по одной теме рядом будет равно произведению чисел 4! и 3!:

\[4! \times 3! = 24 \times 6 = 144.\]

Наконец, чтобы найти вероятность, мы делим количество способов, когда книги по одной теме располагаются рядом, на общее количество способов разместить все книги на полке:

\[\frac{144}{5040} = \frac{2}{70} = \frac{1}{35}.\]

Таким образом, вероятность того, что книги по одной и той же теме окажутся рядом на случайной книжной полке, равна \(\frac{1}{35}\).