Какова вероятность того, что из ящика с 5 синими и 50 красными шарами, при 10 независимых выборах с возвращением, будет

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится знать, что вероятность события можно рассчитать по формуле:

\[P(A) = \frac{{\text{{число благоприятных исходов}}}}{{\text{{общее число возможных исходов}}}}\]

В нашей задаче, общее число возможных исходов - это количество способов выбрать 10 шаров из 55 (5 синих и 50 красных). Мы можем использовать формулу сочетаний для этого.

\[C(n, k) = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}\]

где \(n\) - количество элементов в множестве, а \(k\) - количество элементов, которые мы выбираем.

Теперь давайте рассмотрим благоприятные исходы, то есть случаи, когда мы выбираем синий шар три раза из 10 выбранных шаров.

Сначала выбираем 3 синих шара из 5 доступных. Это можно сделать \(C(5, 3)\) способами.

Затем выбираем 7 шаров из оставшихся 50 (красных). Это можно сделать \(C(50, 7)\) способами.

Общее число благоприятных исходов будет равно произведению этих двух значений.

Теперь мы можем вычислить вероятность, подставив значения в формулу:

\[P(A) = \frac{{C(5, 3) \cdot C(50, 7)}}{{C(55, 10)}}\]

Давайте подсчитаем это значение:

\[P(A) = \frac{{\frac{{5!}}{{3!(5-3)!}} \cdot \frac{{50!}}{{7!(50-7)!}}}}{{\frac{{55!}}{{10!(55-10)!}}}}\]

\[P(A) = \frac{{\frac{{5!}}{{3! \cdot 2!}} \cdot \frac{{50!}}{{7! \cdot 43!}}}}{{\frac{{55!}}{{10! \cdot 45!}}}}\]

\[P(A) = \frac{{\frac{{5 \cdot 4}}{{2 \cdot 1}} \cdot \frac{{50 \cdot 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44}}{{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}}}{{\frac{{55 \cdot 54 \cdot 53 \cdot 52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46}}{{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}}}\]

Теперь давайте упростим эту дробь:

\[P(A) = \frac{{10 \cdot 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46}}{{55 \cdot 54 \cdot 53 \cdot 52 \cdot 51}}\]

\[P(A) \approx 0.0882\]

Таким образом, вероятность того, что из ящика с 5 синими и 50 красными шарами, при 10 независимых выборах с возвращением, будет выниматься синий шар три раза, составляет около 0.0882 или примерно 8.82%.