Какова вероятность того, что из полки, где лежат пять учебников и шесть художественных книг, после случайного выбора

Для решения данной задачи необходимо воспользоваться комбинаторикой и принципом умножения. Давайте разберемся пошагово.

Шаг 1: Определение общего числа способов выбора трех книг из всех доступных.
У нас всего 11 книг (5 учебников и 6 художественных книг), и мы должны выбрать 3 книги из них. Общее число способов выбора трех книг из 11 можно вычислить с помощью формулы сочетаний:

\(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\),

где \(n\) - общее количество объектов (книг), \(k\) - количество объектов (книг), которые мы выбираем.

В данном случае \(n = 11\) и \(k = 3\), поэтому общее число способов выбора трех книг из всех доступных:

\(\binom{11}{3} = \frac{11!}{3!(11-3)!}\).

Шаг 2: Определение числа способов выбора трех учебников.
У нас есть 5 учебников, и мы должны выбрать 3 из них. Число способов выбора трех учебников из 5 можно вычислить также с помощью формулы сочетаний:

\(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\),

где \(n\) - общее количество объектов (учебников), \(k\) - количество объектов (учебников), которые мы выбираем.

В данном случае \(n = 5\) и \(k = 3\), поэтому число способов выбора трех учебников из всех доступных:

\(\binom{5}{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!}\).

Шаг 3: Вычисление вероятности выбора трех учебников.
Вероятность выбора трех учебников будет равна отношению числа способов выбора трех учебников к общему числу способов выбора трех книг из всех доступных. Итак, вероятность:

\[\text{Вероятность} = \frac{\binom{5}{3}}{\binom{11}{3}} = \frac{\frac{5!}{3!(5-3)!}}{\frac{11!}{3!(11-3)!}}\].

Вычислим числитель и знаменатель отдельно:

Числитель: \(\frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3!2!} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10\).

Знаменатель: \(\frac{11!}{3!(11-3)!} = \frac{11!}{3!8!} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8!}{3!8!} = 11 \cdot 10 \cdot 9 = 990\).

Теперь вычислим вероятность:

\[\text{Вероятность} = \frac{10}{990} = \frac{1}{99}\].

Таким образом, вероятность того, что из полки, где лежат пять учебников и шесть художественных книг, после случайного выбора будет взято три учебника, составляет \(\frac{1}{99}\).