Какова вероятность того, что хотя бы одна клетка будет покрашена дважды в данном прямоугольнике размером 4×27 клеток?

Чтобы решить данную задачу, давайте разобьем ее на несколько этапов:

Шаг 1: Рассмотрим вероятность того, что ни одна клетка не будет покрашена дважды. Для этого рассмотрим первую клетку. Вероятность, что она останется непокрашенной при случайном раскрашивании, равна 1 (так как все клетки изначально непокрашенные).

Шаг 2: После раскрашивания первой клетки, рассмотрим вторую клетку. Вероятность того, что она останется непокрашенной, равна \(\frac {27-1}{27}\), так как у нас есть 27 возможных клеток, одна из которых уже раскрашена, и оставшиеся 26 клеток изначально непокрашены.

Шаг 3: Продолжая этот процесс для каждой последующей клетки, получаем вероятность того, что ни одна клетка не будет покрашена дважды: \(\frac {27}{27} \times \frac {26}{27} \times \frac {25}{27} \times \ldots \times \frac {1}{27}\).

Шаг 4: Теперь вычислим вероятность того, что хотя бы одна клетка будет покрашена дважды. Для этого вычтем из 1 вероятность того, что ни одна клетка не будет покрашена дважды:

\(P = 1 - \frac {27}{27} \times \frac {26}{27} \times \frac {25}{27} \times \ldots \times \frac {1}{27}\).

Теперь рассчитаем данное выражение:

\[P = 1 - \frac {27}{27} \times \frac {26}{27} \times \frac {25}{27} \times \ldots \times \frac {1}{27}\]

\[\approx 1 - 0.5899\]

\[\approx 0.4101\]

Для представления ответа в процентах, умножим результат на 100:

\[P \approx 0.4101 \times 100\]

\[\approx 41.01\]

\[\approx 41\%\]

Таким образом, вероятность того, что хотя бы одна клетка будет покрашена дважды в данном прямоугольнике размером 4×27 клеток, округленная до ближайшего целого числа, составляет 41%.