Какова вероятность того, что хотя бы одна клетка будет покрашена дважды в клетчатом прямоугольнике размером 3x31, если

Для решения данной задачи нам необходимо вычислить вероятность того, что хотя бы одна клетка будет покрашена дважды.

Допустим, наш прямоугольник размером 3x31 можно представить как последовательность клеток. Обозначим клетку, покрашенную один раз, как "A", а клетку, покрашенную дважды, как "B".

Теперь рассмотрим, как Вася и Петя могут раскрасить этот прямоугольник. Вася может красить только прямоугольники размером 1x2 клетки, что означает, что он может раскрасить прямоугольник следующими способами:

АА АА АА АА АА АА
11 22 33 44 55 66

Первая строка показывает номера клеток в прямоугольнике, а номера второй строки показывают способы раскраски Васей.

Аналогично, Петя может красить только прямоугольники размером 2x1 клетки, что означает, что он может раскрасить прямоугольник следующими способами:

ВВ
11
12
22

Далее мы можем заметить, что если клетка покрашена дважды, то это произошло либо от Васи, либо от Пети. Поэтому рассмотрим все возможные случаи, когда клетка будет покрашена дважды:

- Если Вася окрасил клетку номер 1 дважды, то Петя не может окрасить клетку номер 2 дважды.
- Если Петя окрасил клетку номер 1 дважды, то Вася не может окрасить клетку номер 2 дважды.
- Если Вася окрасил клетку номер 2 дважды, то Петя не может окрасить клетку номер 3 дважды.
- Если Петя окрасил клетку номер 2 дважды, то Вася не может окрасить клетку номер 3 дважды.

Учитывая эти случаи, мы можем вычислить всевозможные комбинации раскраски прямоугольника, в которых хотя бы одна клетка покрашена дважды. Всего возможно 5 таких комбинаций:

- Вася окрасил клетки 1 и 2, а Петя не окрасил клетку 3.
- Петя окрасил клетки 1 и 2, а Вася не окрасил клетку 3.
- Вася окрасил клетки 1 и 3, а Петя не окрасил клетку 2.
- Петя окрасил клетки 1 и 3, а Вася не окрасил клетку 2.
- Вася окрасил клетки 2 и 3, а Петя не окрасил клетку 1.

Таким образом, вероятность того, что хотя бы одна клетка будет покрашена дважды, равна \(\frac{5}{2^{31}}\), так как для каждой клетки у нас есть два варианта (покрасить или не покрасить), и у нас 31 клетка.

Округлим эту дробь до целого числа и умножим на 100, чтобы получить вероятность в процентах:
\(\frac{5}{2^{31}} \cdot 100\).

Точный результат можно получить путем расчетов, используя программное обеспечение или калькулятор. Окончательный ответ может быть выражен в виде процента.