Какова вероятность того, что две команды от одного института попадут в одну и ту же игровую группу при жеребьевке?

Для решения данной задачи необходимо определить общее количество возможных исходов и количество благоприятных исходов, после чего вероятность будет равна отношению благоприятных исходов к общему количеству исходов.

Допустим, у нас есть \( n \) команд от одного института, и мы хотим узнать вероятность того, что две команды из этого института попадут в одну и ту же игровую группу при жеребьевке.

Количество возможных исходов можно рассчитать следующим образом: при жеребьевке каждая команда может попасть в любую из \( n \) групп игроков. Таким образом, первая команда может попасть в любую из \( n \) групп, а вторая команда уже имеет только один вариант выбора, так как она должна быть в той же группе, что и первая команда. Поэтому общее количество возможных исходов равно \( n \times 1 = n \).

Теперь нам нужно определить количество благоприятных исходов, то есть количество ситуаций, в которых две команды попадают в одну группу. Для этого можно рассмотреть каждую из \( n \) групп и посмотреть, сколькими способами можно выбрать 2 команды из этой группы. Количество способов выбрать 2 команды из \( k \) команд равно \( \binom{k}{2} = \frac{k!}{2!(k-2)!} \), где \( \binom{k}{2} \) обозначает число сочетаний из \( k \) элементов по 2.

Поэтому количество благоприятных исходов можно рассчитать следующим образом: суммируем число сочетаний из \( k \) элементов по 2 для каждой группы (\( k \leq n \)). То есть

\[ \text{количество благоприятных исходов} = \sum_{k=2}^{n} \binom{k}{2} \]

Теперь, для того чтобы рассчитать вероятность, мы делим количество благоприятных исходов на общее количество возможных исходов:

\[ \text{вероятность} = \frac{\text{количество благоприятных исходов}}{\text{общее количество возможных исходов}} \]

Таким образом, вероятность того, что две команды от одного института попадут в одну и ту же игровую группу при жеребьевке, выражается следующей формулой:

\[ \text{вероятность} = \frac{\sum_{k=2}^{n} \binom{k}{2}}{n} \]