Какова вероятность распределения 10 различных шаров по 4 ящикам таким образом, что 4 шара попадут в один ящик

Для решения данной задачи, воспользуемся принципом комбинаторики, а именно формулой размещений с повторениями.

Всего у нас имеется 10 различных шаров, которые мы должны распределить по 4 ящикам. При этом, важно учесть, что в первый ящик должно попасть 4 шара, во второй - 1 шар, в третий - 3 шара, а в четвертый - 2 шара.

Первым шагом найдем количество способов выбрать 4 шара из 10 для помещения их в первый ящик. Это число можно вычислить по формуле:
\[
C_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)! \cdot k!}}
\]
где \(C_n^k\) - число сочетаний из n по k.

Применяя данную формулу, получим:
\[
C_{10}^4 = \frac{{10!}}{{(10 - 4)! \cdot 4!}} = \frac{{10!}}{{6! \cdot 4!}}
\]
\[
= \frac{{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}}{{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = 210.
\]

Теперь приступим ко второму ящику. Нам необходимо выбрать только 1 шар из оставшихся 6, поэтому здесь нет необходимости в применении формулы сочетаний. Количество способов выбрать 1 шар равно 6.

Перейдем к третьему ящику. Нам необходимо выбрать 3 шара из оставшихся 5. Снова применим формулу сочетаний:
\[
C_5^3 = \frac{{5!}}{{(5 - 3)! \cdot 3!}} = \frac{{5 \cdot 4 \cdot 3}}{{2 \cdot 1}} = 10.
\]

И, наконец, перейдем к четвертому ящику. Нам необходимо выбрать 2 шара из оставшихся 2:
\[
C_2^2 = \frac{{2!}}{{(2 - 2)! \cdot 2!}} = 1.
\]

Теперь, чтобы найти общее число способов распределения шаров по ящикам, мы должны перемножить все найденные значения:
\[
210 \cdot 6 \cdot 10 \cdot 1 = 12,600.
\]

Таким образом, вероятность выбрать 10 различных шаров и распределить их по 4 ящикам таким образом, что 4 шара попадут в один ящик, 1 шар попадет в другой, 3 шара попадут в третий ящик, а 2 шара попадут в четвертый ящик, равна \(\frac{1}{{12,600}}\).