Каково расстояние между точками К и С в прямоугольном треугольнике АВС, если плоскости АВС и АВК перпендикулярны

Для решения данной задачи, нам потребуется применить теорему Пифагора и соответствующие тригонометрические соотношения.

1. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. В нашем случае, если обозначить длину гипотенузы треугольника АВС как с, а длины катетов как b и а, соответственно, получим:

\[c^2 = a^2 + b^2\]

2. Так как АВС и АВК перпендикулярны, угол ВАК также равен 90 градусов. Из данного условия следует, что треугольник АКВ является прямоугольным, и его гипотенуза равна 10 см (длина АК).

3. Угол ВКА равен 45 градусов. По тригонометрическим соотношениям в прямоугольном треугольнике АКВ, имеем:

\[\tan(45) = \frac{a}{b}\]

Выразим a через b:

\[a = b \times \tan(45)\]

4. Подставим полученное значение a в уравнение из пункта 1:

\[c^2 = (b \times \tan(45))^2 + b^2\]

5. Упростим полученное уравнение:

\[c^2 = b^2 \times (\tan^2(45) + 1)\]

6. Поскольку \(\tan(45) = 1\), то получим:

\[c^2 = 2b^2\]

7. Вернемся к изначальной информации о длине стороны АВ, равной 8 см. Поскольку АВ является гипотенузой треугольника АВС, то длина гипотенузы равна 8 см (c = 8 см).

8. Подставим найденное значение c в уравнение из пункта 7:

\[8^2 = 2b^2\]

9. Решим это уравнение для нахождения значения b:

\[64 = 2b^2\]
\[b^2 = \frac{64}{2}\]
\[b^2 = 32\]
\[b = \sqrt{32}\]

10. Наконец, найдем значение стороны с (расстояние между точками К и С) с помощью уравнения из пункта 1:

\[c^2 = a^2 + b^2\]
\[c^2 = (\sqrt{32})^2 + 10^2\]
\[c^2 = 32 + 100\]
\[c^2 = 132\]
\[c = \sqrt{132}\]

Итак, полученное значение расстояния между точками К и С в прямоугольном треугольнике АВС равно \(\sqrt{132}\) см.