Какова вероятность извлечения двух зеленых шаров из урны, содержащей 12 синих и 15 зеленых шаров?

Хорошо, давайте решим эту задачу по шагам.

Шаг 1: Определение общего количества шаров в урне.
Из условия задачи мы знаем, что в урне содержится 12 синих и 15 зеленых шаров. Общее количество шаров в урне равно сумме синих и зеленых, то есть \(12 + 15 = 27\).

Шаг 2: Определение количества возможных исходов.
Для определения количества возможных исходов мы будем использовать комбинаторику. Если мы извлекаем два шара, то существует несколько различных комбинаций того, какие именно шары могут быть извлечены. Для этого мы будем использовать комбинации из 27 по 2, что записывается как \(C_{27}^{2}\).

Шаг 3: Вычисление количества благоприятных исходов.
В данном случае благоприятными исходами будут являться комбинации, в которых оба извлеченных шара зеленые. Поскольку в урне находится 15 зеленых шаров, мы можем выбрать два зеленых шара из 15, используя комбинации из 15 по 2, записываемое как \(C_{15}^{2}\).

Шаг 4: Вычисление вероятности.
Теперь, когда мы знаем количество благоприятных исходов и общее количество возможных исходов, мы можем вычислить вероятность извлечения двух зеленых шаров. Формула вероятности имеет вид:
\[
P = \frac{{\text{{количество благоприятных исходов}}}}{{\text{{общее количество возможных исходов}}}}
\]

Подставляя значения, получаем:
\[
P = \frac{{C_{15}^{2}}}{{C_{27}^{2}}}
\]

Теперь давайте посчитаем эту вероятность.

Шаг 5: Вычисление факториалов.
Чтобы вычислить комбинации, нам нужно знать значения факториалов чисел 15 и 27. Расчет этих факториалов дают нам \(15! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 15\) и \(27! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 27\).

Шаг 6: Подсчет комбинаций.
Подставляя значения факториалов в формулу комбинаций, получим:
\[
C_{15}^{2} = \frac{{15!}}{{2! \cdot (15-2)!}} = \frac{{15!}}{{2! \cdot 13!}}
\]
\[
C_{27}^{2} = \frac{{27!}}{{2! \cdot (27-2)!}} = \frac{{27!}}{{2! \cdot 25!}}
\]

Шаг 7: Вычисление вероятности.
Подставляя значения комбинаций в формулу вероятности, получаем:
\[
P = \frac{{C_{15}^{2}}}{{C_{27}^{2}}} = \frac{{\frac{{15!}}{{2! \cdot 13!}}}}{{\frac{{27!}}{{2! \cdot 25!}}}}
\]

Остается только упростить эту дробь и посчитать значение вероятности. Давайте посчитаем ее.

Итак, вероятность извлечения двух зеленых шаров из урны равна:

\[P = \frac{{15! \cdot (2! \cdot 25!)}}{{(2! \cdot 13!) \cdot 27!}}\]