Какова вероятность, что студент успешно сдаст а) 2 экзамена и в) не менее двух экзаменов, если вероятность успешной

Для решения данной задачи нам необходимо использовать знания теории вероятностей.

Перед тем, как перейти к самому расчету, вспомним, что вероятность успешной сдачи экзамена равна 0,7.

Для расчета вероятности успешной сдачи 2 экзаменов (а), нам необходимо рассмотреть все возможные комбинации, при которых студент успешно сдаст 2 экзамена. Так как у нас 5 экзаменов, тут можно использовать комбинации из множества.

Формула для расчета комбинаций из множества выглядит следующим образом:

\[C_n^k = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}\]

где \(C_n^k\) обозначает количество комбинаций из \(n\) элементов по \(k\).

Для данной задачи, нам необходимо рассчитать количество комбинаций из 5 элементов по 2. Подставим значения в формулу:

\[C_5^2 = \frac{{5!}}{{2!(5-2)!}} = \frac{{5!}}{{2!3!}} = \frac{{5 \cdot 4}}{{2 \cdot 1}} = 10\]

Таким образом, есть 10 возможных комбинаций, при которых студент успешно сдаст 2 экзамена.

Теперь можно рассчитать вероятность успешной сдачи 2 экзаменов:

\[P(2 экзамена) = P(сдача_1 \cap сдача_2) = P(сдача_1) \cdot P(сдача_2) = 0,7 \cdot 0,7 = 0,49\]

Таким образом, вероятность успешной сдачи 2 экзаменов составляет 0,49 или 49%.

Перейдем к расчету вероятности успешной сдачи не менее двух экзаменов (в).

Для данной задачи нам нужно рассмотреть две ситуации: когда студент сдаст ровно два экзамена и когда студент сдаст три, четыре или все пять экзаменов.

1) Студент сдаст ровно два экзамена. Мы уже вычислили это значение ранее - 10 комбинаций.

2) Студент сдаст три, четыре или все пять экзаменов. Для этого нам нужно учесть, что у нас есть 5 экзаменов, и мы хотим посчитать комбинации из 3, 4 или 5 элементов.

\[
C_5^3 + C_5^4 + C_5^5 = \frac{{5!}}{{3!(5-3)!}} + \frac{{5!}}{{4!(5-4)!}} + \frac{{5!}}{{5!(5-5)!}} = \frac{{5 \cdot 4}}{{2 \cdot 1}} + \frac{{5 \cdot 4 \cdot 3}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} + \frac{{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}{{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = 10 + 5 + 1 = 16
\]

Таким образом, есть 16 комбинаций, при которых студент сдаст три, четыре или все пять экзаменов.

Теперь можно рассчитать вероятность успешной сдачи не менее двух экзаменов:

\[
P(не\,менее\,двух\,экзаменов) = P(2\,экзамена) \cup P(3\,или\,больше\,экзаменов) = P(2) + P(3,4,5) = 0,49 + 0,16 = 0,65
\]

Таким образом, вероятность успешной сдачи не менее двух экзаменов составляет 0,65 или 65%.