Какова вероятность, что среди пяти изделий: а) будет не менее четырех изделий высшего сорта; б) будет ровно четыре

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться понятием биномиального распределения. Пусть p - вероятность того, что отдельное изделие будет высшего сорта, и q - вероятность того, что отдельное изделие не будет высшего сорта, где q = 1 - p.

а) Для определения вероятности того, что среди пяти изделий будет не менее четырех высшего сорта, нам нужно найти сумму вероятностей следующих случаев:
- все изделия высшего сорта,
- ровно одно изделие не высшего сорта,
- ровно два изделия не высшего сорта,
- ровно три изделия не высшего сорта.

Вероятность всех изделий высшего сорта равна \(p^5\), так как каждое изделие имеет вероятность p быть высшего сорта, и независимо от других изделий их вероятности перемножаются.

Вероятность иметь ровно одно изделие не высшего сорта можно найти по формуле сочетания, так как у нас должно быть ровно одно не высшего сорта из пяти изделий.
Формула сочетания: \(C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}\), где n - общее число элементов, k - число элементов, которые мы выбираем. В нашем случае n = 5 и k = 1.
Таким образом, вероятность иметь ровно одно изделие не высшего сорта равна \(C(5, 1) \cdot p^{4} \cdot q\).

Аналогично мы можем посчитать вероятности иметь ровно два и три изделия не высшего сорта, используя формулу сочетания и учитывая соответствующие вероятности.

Поэтому, вероятность a) - быть не менее четырех изделий высшего сорта равна сумме вероятностей, то есть:
\[P(a) = p^5 + C(5, 1) \cdot p^4 \cdot q + C(5, 2) \cdot p^3 \cdot q^2 + C(5, 3) \cdot p^2 \cdot q^3\]

б) Для решения этой задачи мы можем использовать формулу сочетания, чтобы найти вероятность иметь ровно четыре изделия высшего сорта из пяти. Вероятность будет равна:
\[P(b) = C(5, 4) \cdot p^4 \cdot q\]

Обратите внимание, что высший сорт независимо производится для каждого изделия, и вероятность не меняется. Это предполагает, что каждое изделие может быть рассмотрено как независимое событие.

Окончательный ответ может быть получен, подставив соответствующие значения вероятности \(p\) и \(q\) в формулы.