Какова вероятность, что Саша и Коля окажутся соседями, если автобус имеет 20 мест и пассажиры случайно рассаживаются

Давайте рассмотрим данную задачу шаг за шагом.

У нас есть автобус с 20 местами, и пассажиры случайно рассаживаются. Для выяснения вероятности того, что Саша и Коля окажутся соседями, мы должны сначала определить общее количество возможных вариантов рассадки пассажиров в автобусе.

Чтобы найти это число, мы можем использовать принцип умножения. Поскольку каждый из 20 мест может быть заполнен любым пассажиром, общее количество возможных вариантов рассадки будет равно \(20!\) (факториал числа 20).

Теперь нам нужно определить количество благоприятных исходов, когда Саша и Коля окажутся соседями.

Давайте представим, что Саша занимает одно из мест в автобусе, скажем, место номер 1. Тогда вероятность того, что Коля окажется его соседом, равна вероятности того, что Коля займет место номер 2.

После того, как Саша и Коля займут первые два места, нам остается рассадить оставшихся 18 пассажиров на оставшиеся 18 мест автобуса. Количество возможных вариантов рассадки оставшихся пассажиров равно \(18!\) (факториал числа 18).

Так как Саша может занять любое из 20 мест, а Коля соответственно займет место рядом с Сашей, количество благоприятных исходов равно \(20 \times 18!\), потому что Коля может выбрать любое из оставшихся 18 мест, и для каждого его выбора остальные пассажиры будут рассажены оставшимися способами.

Теперь мы можем вычислить искомую вероятность, разделив количество благоприятных исходов на общее количество возможных вариантов рассадки пассажиров:

\[
P = \frac{{20 \times 18!}}{{20!}}
\]

Когда мы упрощаем это выражение, многие члены сокращаются, и мы получаем следующий результат:

\[
P = \frac{1}{20}
\]

Таким образом, вероятность того, что Саша и Коля окажутся соседями, составляет \(\frac{1}{20}\).