Какова вероятность, что певец получит главный приз, если он должен победить в не менее чем трех из пяти конкурсов?

Рассмотрим каждую задачу по отдельности:

1. Вероятность получить главный приз при условии, что певец должен победить в не менее чем трех из пяти конкурсов.

Для решения этой задачи, мы можем использовать биномиальное распределение. Биномиальное распределение используется для моделирования ситуаций, когда у нас есть два возможных исхода - успех или неудача, и вероятность успеха остается постоянной для каждой попытки.

Пусть вероятность победы в каждом конкурсе составляет \(p\), а вероятность проигрыша соответственно равна \(1-p\). Для того чтобы певец победил не менее трех из пяти конкурсов, мы должны рассмотреть следующие комбинации:
- Победить в 3 конкурсах и проиграть в 2
- Победить в 4 конкурсах и проиграть в 1
- Победить во всех 5 конкурсах

Для каждой комбинации мы можем использовать формулу биномиального распределения, чтобы найти вероятность этого события. Формула выглядит следующим образом:

\[P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

где:
\(P(X = k)\) - вероятность того, что певец победит ровно в \(k\) конкурсах,
\(C(n, k)\) - количество сочетаний из \(n\) по \(k\) (число способов выбрать \(k\) успехов из \(n\) возможных),
\(p\) - вероятность успеха (победы в одном конкурсе),
\(n\) - общее количество конкурсов.

Для нашей задачи, \(n = 5\) и \(p\) - неизвестное значение.

Теперь давайте посчитаем вероятность каждой комбинации:

Победить в 3 конкурсах и проиграть в 2:

\[P(X = 3) = C(5, 3) \cdot p^3 \cdot (1-p)^2\]

Победить в 4 конкурсах и проиграть в 1:

\[P(X = 4) = C(5, 4) \cdot p^4 \cdot (1-p)^1\]

Победить во всех 5 конкурсах:

\[P(X = 5) = C(5, 5) \cdot p^5 \cdot (1-p)^0\]

Теперь мы можем просуммировать вероятности каждой комбинации, чтобы получить общую вероятность:

\[P(\text{победа в не менее чем трех конкурсах}) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)\]

Осталось только решить это уравнение для \(p\). Получившаяся вероятность будет ответом на задачу.

2. Вероятность того, что необходимо заменить не менее трех из четырех электрических лампочек в течение года.

Для решения этой задачи, мы можем использовать вероятность комплементарного события, то есть вероятность отсутствия события. Если мы найдем вероятность того, что заменить не более двух лампочек, то вычтем эту вероятность из 1, чтобы получить вероятность изменения трех или более лампочек.

Пусть вероятность замены одной лампочки в течение года составляет \(p\), а вероятность не замены - \(1-p\). Мы можем использовать биномиальное распределение для определения вероятности замены не более двух лампочек:

\[P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)\]

где:
\(P(X \leq 2)\) - вероятность замены не более двух лампочек,
\(P(X = k)\) - вероятность замены \(k\) лампочек,
\(p\) - вероятность замены одной лампочки,
\(X\) - случайная величина, представляющая количество замененных лампочек.

Для каждой комбинации мы можем использовать формулу биномиального распределения:

\[P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

где:
\(C(n, k)\) - количество сочетаний из \(n\) по \(k\),
\(n\) - общее количество лампочек (в нашем случае 4).

Теперь давайте посчитаем вероятность замены каждого количества лампочек:

Замена 0 лампочек:

\[P(X = 0) = C(4, 0) \cdot p^0 \cdot (1-p)^4\]

Замена 1 лампочки:

\[P(X = 1) = C(4, 1) \cdot p^1 \cdot (1-p)^3\]

Замена 2 лампочек:

\[P(X = 2) = C(4, 2) \cdot p^2 \cdot (1-p)^2\]

Теперь мы можем просуммировать вероятности каждой комбинации, чтобы найти вероятность замены не более двух лампочек:

\[P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)\]

Чтобы найти вероятность замены трех или более лампочек, нам нужно вычесть эту вероятность из 1:

\[P(\text{замена >= 3}) = 1 - P(X \leq 2)\]

Осталось только решить это уравнение для \(p\). Получившаяся вероятность будет ответом на задачу.