Какова вероятность, что между двумя мужчинами в очереди будут стоять двое детей и одна женщина, если в очереди стоит

Давайте рассмотрим задачу по шагам.

Шаг 1: Выясним общее количество способов установить позиции для людей в очереди. У нас есть 9 человек, и комбинации их позиций можно рассматривать как последовательное размещение. Поскольку порядок имеет значение, мы можем использовать формулу для размещения без повторений:

\[A(n, r) = \frac{{n!}}{{(n-r)!}}\]

где \(A(n, r)\) обозначает количество перестановок, \(n\) - общее количество объектов, а \(r\) - количество объектов, которые мы выбираем.

В нашем случае, мы выбираем 9 человек из 9, поэтому \(n = 9\) и \(r = 9\). Подставив значения в формулу, получаем:

\[A(9, 9) = \frac{{9!}}{{(9-9)!}} = 9!\]

Шаг 2: Определим количество способов разместить мужчин и женщин. У нас есть 3 мужчины и 4 женщины, поэтому нужно выбрать 2 позиции для мужчин и 1 позицию для женщины. Используя формулу размещения без повторений, получаем:

\[A(3, 2) = \frac{{3!}}{{(3-2)!}} = \frac{{3!}}{{1!}} = 3\]
\[A(4, 1) = \frac{{4!}}{{(4-1)!}} = \frac{{4!}}{{3!}} = 4\]

Шаг 3: Определим количество способов разместить детей. У нас есть 2 ребенка, поэтому можно рассмотреть их размещение как последовательное размещение без повторений. Используя формулу размещения без повторений, мы получаем:

\[A(2, 2) = \frac{{2!}}{{(2-2)!}} = 2!\]

Шаг 4: Найдем общее количество неудовлетворяющих условию расстановок, когда двое детей и одна женщина не стоят между двумя мужчинами.

Для того чтобы найти общее количество таких расстановок, вычтем количество способов разместить мужчин и женщин, а также количество способов разместить детей, из общего количество возможных расстановок:

Общее количество неудовлетворяющих условию расстановок = \(A(9, 9) - A(3, 2) \times A(4, 1) \times A(2, 2)\)
\(= 9! - 3 \times 4 \times 2!\)

Шаг 5: Наконец, найдем вероятность, что между двумя мужчинами стоят двое детей и одна женщина. Для этого поделим количество удовлетворяющих условию расстановок на общее количество возможных расстановок:

Вероятность = \(\frac{{А(9, 9) - А(3, 2) \times А(4, 1) \times А(2, 2)}}{{А(9, 9)}}\)

Подставим значения и вычислим:

Вероятность = \(\frac{{9! - 3 \times 4 \times 2!}}{{9!}}\)