Какова вероятность, что между двумя мужчинами в очереди будут стоять двое детей и одна женщина, если в очереди стоит

Давайте рассмотрим задачу по шагам.

Шаг 1: Выясним общее количество способов установить позиции для людей в очереди. У нас есть 9 человек, и комбинации их позиций можно рассматривать как последовательное размещение. Поскольку порядок имеет значение, мы можем использовать формулу для размещения без повторений:

$$A(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!}$$

где $A(n,r)$ обозначает количество перестановок, $n$ - общее количество объектов, а $r$ - количество объектов, которые мы выбираем.

В нашем случае, мы выбираем 9 человек из 9, поэтому $n=9$ и $r=9$. Подставив значения в формулу, получаем:

$$A(9,9)=\frac{9!}{(9-9)!}=9!$$

Шаг 2: Определим количество способов разместить мужчин и женщин. У нас есть 3 мужчины и 4 женщины, поэтому нужно выбрать 2 позиции для мужчин и 1 позицию для женщины. Используя формулу размещения без повторений, получаем:

$$A(3,2)=\frac{3!}{(3-2)!}=\frac{3!}{1!}=3$$
$$A(4,1)=\frac{4!}{(4-1)!}=\frac{4!}{3!}=4$$

Шаг 3: Определим количество способов разместить детей. У нас есть 2 ребенка, поэтому можно рассмотреть их размещение как последовательное размещение без повторений. Используя формулу размещения без повторений, мы получаем:

$$A(2,2)=\frac{2!}{(2-2)!}=2!$$

Шаг 4: Найдем общее количество неудовлетворяющих условию расстановок, когда двое детей и одна женщина не стоят между двумя мужчинами.

Для того чтобы найти общее количество таких расстановок, вычтем количество способов разместить мужчин и женщин, а также количество способов разместить детей, из общего количество возможных расстановок:

Общее количество неудовлетворяющих условию расстановок = $A(9,9)-A(3,2)\times A(4,1)\times A(2,2)$
$=9!-3\times 4\times 2!$

Шаг 5: Наконец, найдем вероятность, что между двумя мужчинами стоят двое детей и одна женщина. Для этого поделим количество удовлетворяющих условию расстановок на общее количество возможных расстановок:

Вероятность = $\frac{А(9,9)-А(3,2)\times А(4,1)\times А(2,2)}{А(9,9)}$

Подставим значения и вычислим:

Вероятность = $\frac{9!-3\times 4\times 2!}{9!}$