Какова вероятность, что будет представлено определенное количество готовых документов без ошибок, если три сотрудника

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать биномиальное распределение.

Пусть X - количество готовых документов без ошибок, тогда X может принимать значения от 0 до 3.

Вероятность получить k безошибочных документов из n попыток можно выразить следующей формулой:

\[P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

где \(C_n^k\) - количество сочетаний из n по k (в математике обозначается символом \(\binom{n}{k}\)), p - вероятность безошибочного документа, 1-p - вероятность ошибки.

В нашем случае, для каждого из трех сотрудников вероятность безошибочного документа следующая:

p1 = 0.4,
p2 = 0.9,
p3 = ...

Из условия задачи, значение p3 не указано. Давайте предположим, что p3 = 0.6.

Теперь можем рассчитать вероятность получить каждое из возможных значений X:

\[P(X = 0) = \binom{3}{0} \cdot 0.4^0 \cdot (1-0.4)^3\]
\[P(X = 1) = \binom{3}{1} \cdot 0.4^1 \cdot (1-0.4)^2\]
\[P(X = 2) = \binom{3}{2} \cdot 0.4^2 \cdot (1-0.4)^1\]
\[P(X = 3) = \binom{3}{3} \cdot 0.4^3 \cdot (1-0.4)^0\]

Теперь, когда мы знаем вероятность каждого значения X, можно рассчитать математическое ожидание (M), дисперсию (D) и среднее квадратическое отклонение (σ) случайной величины X.

Математическое ожидание (M) вычисляется следующим образом:

\[M = \sum_{k=0}^{n} k \cdot P(X = k)\]

Дисперсия (D) можно найти по формуле:

\[D = \sum_{k=0}^{n} (k - M)^2 \cdot P(X = k)\]

Среднее квадратическое отклонение (σ) вычисляется как квадратный корень из дисперсии:

\[\sigma = \sqrt{D}\]

Теперь, давайте рассчитаем все значения и ответим на вопрос задачи.

\[P(X = 0) = \binom{3}{0} \cdot 0.4^0 \cdot (1-0.4)^3 = 1 \cdot 1 \cdot 0.216 = 0.216\]

\[P(X = 1) = \binom{3}{1} \cdot 0.4^1 \cdot (1-0.4)^2 = 3 \cdot 0.4 \cdot 0.36 = 0.432\]

\[P(X = 2) = \binom{3}{2} \cdot 0.4^2 \cdot (1-0.4)^1 = 3 \cdot 0.16 \cdot 0.6 = 0.288\]

\[P(X = 3) = \binom{3}{3} \cdot 0.4^3 \cdot (1-0.4)^0 = 1 \cdot 0.064 \cdot 1 = 0.064\]

Математическое ожидание (M) можно найти следующим образом:

\[M = 0 \cdot P(X = 0) + 1 \cdot P(X = 1) + 2 \cdot P(X = 2) + 3 \cdot P(X = 3)\]

Подставив значения, получим:

\[M = 0 \cdot 0.216 + 1 \cdot 0.432 + 2 \cdot 0.288 + 3 \cdot 0.064 = 0.72\]

Теперь рассчитаем дисперсию (D):

\[D = (0 - M)^2 \cdot P(X = 0) + (1 - M)^2 \cdot P(X = 1) + (2 - M)^2 \cdot P(X = 2) + (3 - M)^2 \cdot P(X = 3)\]

Подставив значения, получим:

\[D = (0 - 0.72)^2 \cdot 0.216 + (1 - 0.72)^2 \cdot 0.432 + (2 - 0.72)^2 \cdot 0.288 + (3 - 0.72)^2 \cdot 0.064\]

\[D = 0.279936 + 0.195264 + 0.096384 + 0.028224\]

\[D \approx 0.6\]

Наконец, найдем среднее квадратическое отклонение (σ):

\[\sigma = \sqrt{D} \approx \sqrt{0.6} \approx 0.7746\]

Таким образом, вероятность получить определенное количество готовых документов без ошибок распределены следующим образом:
- P(X = 0) ≈ 0.216
- P(X = 1) ≈ 0.432
- P(X = 2) ≈ 0.288
- P(X = 3) ≈ 0.064

Математическое ожидание (M) ≈ 0.72, дисперсия (D) ≈ 0.6, среднее квадратическое отклонение (σ) ≈ 0.7746.