Какова величина плоского угла при вершине грани пирамиды, где в правильной четырехугольной пирамиде тангенс угла между

Для того чтобы решить эту задачу, давайте разберемся с определениями и свойствами правильной четырехугольной пирамиды и апофемы.

Правильная четырехугольная пирамида - это пирамида, у которой основание является четырехугольником и все боковые грани равны и равномерно угловидно расположены вокруг вершины пирамиды.

Апофема - это отрезок, проведенный из вершины пирамиды до середины стороны основания.

У нас дано, что тангенс угла между апофемами двух противоположных граней равен \(2 \sqrt{2}\).

Теперь перейдем к решению задачи:

1. Обозначим через \(a\) длину апофемы одной из противоположных граней.
2. Также обозначим через \(A\) площадь основания пирамиды.
3. По определению плоского угла, величина угла при вершине пирамиды зависит от отношения апофемы к площади основания.
4. Пусть отношение апофемы \(a\) к площади основания \(A\) равно \(x\).
То есть мы имеем уравнение \(x = \frac{a}{A}\).

Исходя из свойств тангенса и апофемы, мы можем записать тангенс угла между апофемами двух противоположных граней как:

\(\tan(\text{угол}) = \frac{2a}{A}\)

Нам дано, что \(\tan(\text{угол}) = 2 \sqrt{2}\), поэтому мы можем записать:

\(2 \sqrt{2} = \frac{2a}{A}\)

Теперь выразим отношение апофемы к площади основания \(x\):

\(x = \frac{a}{A}\)

Как видно, это отношение \(x\) равно \(\frac{2}{\sqrt{2}}\) или \(\sqrt{2}\).

Теперь, чтобы найти величину плоского угла при вершине грани пирамиды, мы можем воспользоваться обратным тангенсом (арктангенсом) этого отношения \(x\):

\(\text{угол} = \arctan(\sqrt{2})\)

Вычисляя это значение на калькуляторе или вводя в математическое ПО, мы получаем, что величина плоского угла при вершине грани пирамиды составляет приблизительно \(54.74\) градусов.

Таким образом, величина плоского угла при вершине грани пирамиды равна примерно \(54.74\) градусов.