Какова угловая скорость барабана в момент времени t = 3 c, если груз 1 поднимается с лебедки 2, а закон движения груза

Чтобы найти угловую скорость барабана в момент времени \(t = 3\) секунды, нам понадобится использовать связь между угловой скоростью и линейной скоростью движения груза на лебедке.

Известно, что линейная скорость \(v\) связана с угловой скоростью \(\omega\) следующим образом: \(v = R \cdot \omega\), где \(R\) - радиус барабана.

Дано выражение для закона движения груза: \(S = 2 + 8t^2\) (см).

Для определения линейной скорости груза в момент времени \(t = 3\) секунды, найдем производную от \(S\) по \(t\):

\[\frac{{dS}}{{dt}} = \frac{{d}}{{dt}}(2 + 8t^2)\]

Производная от константы равна нулю, поэтому останется только производная \(\frac{{d}}{{dt}}(8t^2)\), которая равна \(16t\).

Теперь найдем линейную скорость \(v\) в момент времени \(t = 3\) секунды, подставив \(t = 3\) в полученную производную:

\(v = 16 \cdot 3 = 48\) (см/с).

Изначально была дана связь между линейной и угловой скоростью: \(v = R \cdot \omega\). Найдем радиус \(R\).

Нам не дано значение радиуса барабана. Поэтому, чтобы выразить угловую скорость \(\omega\), мы можем записать следующее:

\(\omega = \frac{{v}}{{R}}\)

Однако, мы не можем найти точное значение угловой скорости без знания радиуса. Поэтому ответ будет следующим:

Угловая скорость барабана в момент времени \(t = 3\) секунды составляет \(\frac{{48}}{{R}}\) рад/с (с точностью до десятых), где \(R\) - радиус барабана.