Какова убыль кинетической энергии вагонов в результате абсолютно столкновения, если вагон массой m1, движущийся

Дек 20, 2023

Какова убыль кинетической энергии вагонов в результате абсолютно столкновения, если вагон массой m1, движущийся по горизонтальному пути, догоняет и сцепляется с другим движущимся вагоном массой m2, а расстояние между вагонами сокращается со скоростью u?

Vesenniy_Sad

Для решения данной задачи, нам понадобится применить законы сохранения импульса и энергии.

1. Закон сохранения импульса гласит, что сумма импульсов системы до и после столкновения остается неизменной. При абсолютно упругом столкновении вагонов, импульс будет сохраняться.

Выразим импульс системы до и после столкновения:

p_{до} = m_{1} \cdot v_{1} + m_{2} \cdot v_{2}

- импульс системы до столкновения,

p_{после} = m_{1} \cdot v_{1} " + m_{2} \cdot v_{2} "

- импульс системы после столкновения,
где

v_{1}

v_{2}

- начальные скорости вагонов, а

v_{1} "

v_{2} "

- их скорости после столкновения.

Так как вагоны сцепились и двигаются вместе после столкновения, то

v_{1} " = v_{2} " = v_{общ}

- общая скорость массы m1 и m2.

Из закона сохранения импульса получаем:

m_{1} \cdot v_{1} + m_{2} \cdot v_{2} = (m_{1} + m_{2}) \cdot v_{общ}

.

2. Закон сохранения энергии гласит, что сумма кинетических энергий системы до и после столкновения также остается неизменной при абсолютно упругом столкновении.

Выразим кинетическую энергию системы до и после столкновения:

E_{до} = \frac{1}{2} \cdot m_{1} \cdot {v_{1}}^{2} + \frac{1}{2} \cdot m_{2} \cdot {v_{2}}^{2}

- кинетическая энергия системы до столкновения,

E_{после} = \frac{1}{2} \cdot (m_{1} + m_{2}) \cdot {v_{общ}}^{2}

- кинетическая энергия системы после столкновения.

Из закона сохранения энергии получаем:

\frac{1}{2} \cdot m_{1} \cdot {v_{1}}^{2} + \frac{1}{2} \cdot m_{2} \cdot {v_{2}}^{2} = \frac{1}{2} \cdot (m_{1} + m_{2}) \cdot {v_{общ}}^{2}

.

Теперь мы можем решить систему уравнений, состоящую из выражений для сохранения импульса и энергии, чтобы определить конечные скорости и изменение кинетической энергии.

Упростим уравнение сохранения импульса:

m_{1} \cdot v_{1} + m_{2} \cdot v_{2} = (m_{1} + m_{2}) \cdot v_{общ}

m_{1} \cdot v_{1} + m_{2} \cdot v_{2} = m_{1} \cdot v_{общ} + m_{2} \cdot v_{общ}

m_{1} \cdot v_{1} + m_{2} \cdot v_{2} = (m_{1} + m_{2}) \cdot v_{общ}

m_{1} \cdot (v_{1} - v_{общ}) = m_{2} \cdot (v_{общ} - v_{2})

v_{1} - v_{общ} = \frac{m_{2}}{m_{1}} \cdot (v_{общ} - v_{2})

.

Упростим уравнение сохранения энергии:

\frac{1}{2} \cdot m_{1} \cdot {v_{1}}^{2} + \frac{1}{2} \cdot m_{2} \cdot {v_{2}}^{2} = \frac{1}{2} \cdot (m_{1} + m_{2}) \cdot {v_{общ}}^{2}

m_{1} \cdot {v_{1}}^{2} + m_{2} \cdot {v_{2}}^{2} = (m_{1} + m_{2}) \cdot {v_{общ}}^{2}

.

Теперь, используя уравнение сохранения импульса, выразим

v_{1} - v_{общ}

v_{1} - v_{общ} = \frac{m_{2}}{m_{1}} \cdot (v_{общ} - v_{2})

v_{1} - v_{общ} = \frac{m_{2}}{m_{1}} \cdot v_{общ} - \frac{m_{2}}{m_{1}} \cdot v_{2}

v_{1} - \frac{m_{2}}{m_{1}} \cdot v_{общ} = - \frac{m_{2}}{m_{1}} \cdot v_{2}

v_{1} = \frac{m_{2}}{m_{1}} \cdot v_{общ} - \frac{m_{2}}{m_{1}} \cdot v_{2} + v_{общ}

v_{1} = \frac{m_{2}}{m_{1}} \cdot (v_{общ} - v_{2}) + v_{общ}

.

Теперь подставим это значение

v_{1}

в уравнение сохранения энергии:

m_{1} \cdot {v_{1}}^{2} + m_{2} \cdot {v_{2}}^{2} = (m_{1} + m_{2}) \cdot {v_{общ}}^{2}

m_{1} \cdot {(\frac{m_{2}}{m_{1}} \cdot (v_{общ} - v_{2}) + v_{общ})}^{2} + m_{2} \cdot {v_{2}}^{2} = (m_{1} + m_{2}) \cdot {v_{общ}}^{2}

m_{1} \cdot {(\frac{m_{2}}{m_{1}})}^{2} \cdot (v_{общ} - v_{2})^{2} + 2 \cdot \frac{m_{2}}{m_{1}} \cdot (v_{общ} - v_{2}) \cdot v_{общ} + m_{1} \cdot v_{общ}^{2} + m_{2} \cdot {v_{2}}^{2} = (m_{1} + m_{2}) \cdot {v_{общ}}^{2}

.

Теперь раскроем скобки и упростим уравнение:

\frac{m_{2}^{2}}{m_{1}} \cdot (v_{общ} - v_{2})^{2} + 2 \cdot \frac{m_{2}}{m_{1}} \cdot (v_{общ} - v_{2}) \cdot v_{общ} + m_{1} \cdot v_{общ}^{2} + m_{2} \cdot {v_{2}}^{2} = (m_{1} + m_{2}) \cdot {v_{общ}}^{2}

\frac{m_{2}^{2}}{m_{1}} \cdot (v_{общ}^{2} - 2 \cdot v_{общ} \cdot v_{2} + v_{2}^{2}) + 2 \cdot \frac{m_{2}}{m_{1}} \cdot (v_{общ} - v_{2}) \cdot v_{общ} + m_{1} \cdot v_{общ}^{2} + m_{2} \cdot {v_{2}}^{2} = (m_{1} + m_{2}) \cdot {v_{общ}}^{2}

\frac{m_{2}^{2}}{m_{1}} \cdot v_{общ}^{2} - 2 \cdot \frac{m_{2}^{2}}{m_{1}} \cdot v_{общ} \cdot v_{2} + \frac{m_{2}^{2}}{m_{1}} \cdot v_{2}^{2} + 2 \cdot \frac{m_{2}}{m_{1}} \cdot v_{общ}^{2} - 2 \cdot \frac{m_{2}}{m_{1}} \cdot v_{общ} \cdot v_{2} + m_{1} \cdot v_{общ}^{2} + m_{2} \cdot {v_{2}}^{2} = (m_{1} + m_{2}) \cdot {v_{общ}}^{2}

\frac{m_{2}^{2}}{m_{1}} \cdot v_{общ}^{2} - 2 \cdot \frac{m_{2}^{2}}{m_{1}} \cdot v_{общ} \cdot v_{2} + \frac{m_{2}^{2}}{m_{1}} \cdot v_{2}^{2} + 2 \cdot \frac{m_{2}}{m_{1}} \cdot v_{общ}^{2} - 2 \cdot \frac{m_{2}}{m_{1}} \cdot v_{общ} \cdot v_{2} + m_{1} \cdot v_{общ}^{2} + m_{2} \cdot {v_{2}}^{2} - (m_{1} + m_{2}) \cdot {v_{общ}}^{2} = 0

\frac{m_{2}^{2}}{m_{1}} \cdot v_{общ}^{2} - 2 \cdot \frac{m_{2}^{2}}{m_{1}} \cdot v_{общ} \cdot v_{2} + \frac{m_{2}^{2}}{m_{1}} \cdot v_{2}^{2} + 2 \cdot \frac{m_{2}}{m_{1}} \cdot v_{общ}^{2} - 2 \cdot \frac{m_{2}}{m_{1}} \cdot v_{общ} \cdot v_{2} + m_{1} \cdot v_{общ}^{2} + m_{2} \cdot {v_{2}}^{2} - m_{1} \cdot {v_{общ}}^{2} - m_{2} \cdot {v_{общ}}^{2} = 0

.

Теперь сгруппируем слагаемые:

(\frac{m_{2}^{2}}{m_{1}} + 2 \cdot \frac{m_{2}}{m_{1}} - m_{2}) \cdot v_{общ}^{2} + (\frac{m_{2}^{2}}{m_{1}} - 2 \cdot \frac{m_{2}}{m_{1}} + m_{2}) \cdot v_{2}^{2} = 0

(\frac{m_{2}^{2} + 2 \cdot m_{2} \cdot m_{1} - m_{2} \cdot m_{1}}{m_{1}}) \cdot v_{общ}^{2} + (\frac{m_{2}^{2} - 2 \cdot m_{2} \cdot m_{1} + m_{2} \cdot m_{1}}{m_{1}}) \cdot v_{2}^{2} = 0

\frac{m_{2}^{2} + m_{2} \cdot (2 \cdot m_{1} - m_{1})}{m_{1}} \cdot v_{общ}^{2} + \frac{m_{2}^{2} - m_{2} \cdot (2 \cdot m_{1} - m_{1})}{m_{1}} \cdot v_{2}^{2} = 0

\frac{m_{2} (m_{2} + m_{1})}{m_{1}} \cdot v_{общ}^{2} + \frac{m_{2} (m_{2} - m_{1})}{m_{1}} \cdot v_{2}^{2} = 0

\frac{m_{2} (m_{2} + m_{1})}{m_{1}} \cdot v_{общ}^{2} = - \frac{m_{2} (m_{2} - m_{1})}{m_{1}} \cdot v_{2}^{2}

.

Теперь найдем соотношение между

Extra close brace or missing open brace

\frac{m_{2} (m_{2} + m_{1})}{m_{1}} \cdot v_{общ}^{2} = - \frac{m_{2} (m_{2} - m_{1})}{m_{1}} \cdot v_{2}^{2}

v_{общ}^{2} = - \frac{m_{2} (m_{2} - m_{1})}{m_{2} (m_{1} + m_{2})} \cdot v_{2}^{2}

Extra close brace or missing open brace

.

Теперь найдем изменение кинетической энергии, используя полученное значение

v_{общ}

Δ E_{кин} = \frac{1}{2} \cdot (m_{1} + m_{2}) \cdot {v_{общ}}^{2} - \frac{1}{2} \cdot m_{1} \cdot {v_{1}}^{2} - \frac{1}{2} \cdot m_{2} \cdot {v_{2}}^{2}

.

Подставим выражение для

v_{общ}

Δ E_{кин} = \frac{1}{2} \cdot (m_{1} + m_{2}) \cdot {(\sqrt{- \frac{m_{2} (m_{2} - m_{1})}{m_{2} (m_{1} + m_{2})}} \cdot v_{2})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot m_{1} \cdot {(\frac{m_{2}}{m_{1}} \cdot (v_{общ} - v_{2}) + v_{общ})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot m_{2} \cdot {v_{2}}^{2}

.

Теперь проведем вычисления и упростим полученное выражение:

Δ E_{кин} = \frac{1}{2} \cdot (m_{1} + m_{2}) \cdot \frac{m_{2} (m_{2} - m_{1})}{m_{2} (m_{1} + m_{2})} \cdot v_{2}^{2} - \frac{1}{2} \cdot m_{1} \cdot {(\frac{m_{2}}{m_{1}} \cdot \sqrt{- \frac{m_{2} (m_{2} - m_{1})}{m_{2} (m_{1} + m_{2})}} \cdot v_{2})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot m_{2} \cdot v_{2}^{2}

,
\(\Delta

Знаешь ответ?

Физика

Каков период колебаний пружинного маятника с массой 196 г, если коэффициент упругости пружины...

Дек 16, 2023

Физика

Какое вещество выделило 5,9 кДж теплоты при отвердевании 100г?

Дек 16, 2023

Какова убыль кинетической энергии вагонов в результате абсолютно столкновения, если вагон массой m1, движущийся

Vesenniy_Sad

О проекте

Предметы

Задать вопрос

Привет!