Какова убыль кинетической энергии вагонов в результате абсолютно столкновения, если вагон массой m1, движущийся по горизонтальному пути, догоняет и сцепляется с другим движущимся вагоном массой m2, а расстояние между вагонами сокращается со скоростью u?
Vesenniy_Sad
Для решения данной задачи, нам понадобится применить законы сохранения импульса и энергии.
1. Закон сохранения импульса гласит, что сумма импульсов системы до и после столкновения остается неизменной. При абсолютно упругом столкновении вагонов, импульс будет сохраняться.
Выразим импульс системы до и после столкновения:
\(p_{\text{до}} = m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2\) - импульс системы до столкновения,
\(p_{\text{после}} = m_1 \cdot v_1" + m_2 \cdot v_2"\) - импульс системы после столкновения,
где \(v_1\) и \(v_2\) - начальные скорости вагонов, а \(v_1"\) и \(v_2"\) - их скорости после столкновения.
Так как вагоны сцепились и двигаются вместе после столкновения, то \(v_1" = v_2" = v_{\text{общ}}\) - общая скорость массы m1 и m2.
Из закона сохранения импульса получаем: \(m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = (m_1 + m_2) \cdot v_{\text{общ}}\).
2. Закон сохранения энергии гласит, что сумма кинетических энергий системы до и после столкновения также остается неизменной при абсолютно упругом столкновении.
Выразим кинетическую энергию системы до и после столкновения:
\(E_{\text{до}} = \frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot {v_1}^2 + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot {v_2}^2\) - кинетическая энергия системы до столкновения,
\(E_{\text{после}} = \frac{1}{2} \cdot (m_1 + m_2) \cdot {v_{\text{общ}}}^2\) - кинетическая энергия системы после столкновения.
Из закона сохранения энергии получаем: \(\frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot {v_1}^2 + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot {v_2}^2 = \frac{1}{2} \cdot (m_1 + m_2) \cdot {v_{\text{общ}}}^2\).
Теперь мы можем решить систему уравнений, состоящую из выражений для сохранения импульса и энергии, чтобы определить конечные скорости и изменение кинетической энергии.
Упростим уравнение сохранения импульса:
\(m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = (m_1 + m_2) \cdot v_{\text{общ}}\),
\(m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = m_1 \cdot v_{\text{общ}} + m_2 \cdot v_{\text{общ}}\),
\(m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = (m_1 + m_2) \cdot v_{\text{общ}}\),
\(m_1 \cdot (v_1 - v_{\text{общ}}) = m_2 \cdot (v_{\text{общ}} - v_2)\),
\(v_1 - v_{\text{общ}} = \frac{m_2}{m_1} \cdot (v_{\text{общ}} - v_2)\).
Упростим уравнение сохранения энергии:
\(\frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot {v_1}^2 + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot {v_2}^2 = \frac{1}{2} \cdot (m_1 + m_2) \cdot {v_{\text{общ}}}^2\),
\(m_1 \cdot {v_1}^2 + m_2 \cdot {v_2}^2 = (m_1 + m_2) \cdot {v_{\text{общ}}}^2\).
Теперь, используя уравнение сохранения импульса, выразим \(v_1 - v_{\text{общ}}\):
\(v_1 - v_{\text{общ}} = \frac{m_2}{m_1} \cdot (v_{\text{общ}} - v_2)\),
\(v_1 - v_{\text{общ}} = \frac{m_2}{m_1} \cdot v_{\text{общ}} - \frac{m_2}{m_1} \cdot v_2\),
\(v_1 - \frac{m_2}{m_1} \cdot v_{\text{общ}} = -\frac{m_2}{m_1} \cdot v_2\),
\(v_1 = \frac{m_2}{m_1} \cdot v_{\text{общ}} - \frac{m_2}{m_1} \cdot v_2 + v_{\text{общ}}\),
\(v_1 = \frac{m_2}{m_1} \cdot (v_{\text{общ}} - v_2) + v_{\text{общ}}\).
Теперь подставим это значение \(v_1\) в уравнение сохранения энергии:
\(m_1 \cdot {v_1}^2 + m_2 \cdot {v_2}^2 = (m_1 + m_2) \cdot {v_{\text{общ}}}^2\),
\(m_1 \cdot \left(\frac{m_2}{m_1} \cdot (v_{\text{общ}} - v_2) + v_{\text{общ}}\right)^2 + m_2 \cdot {v_2}^2 = (m_1 + m_2) \cdot {v_{\text{общ}}}^2\),
\(m_1 \cdot \left(\frac{m_2}{m_1}\right)^2 \cdot (v_{\text{общ}} - v_2)^2 + 2 \cdot \frac{m_2}{m_1} \cdot (v_{\text{общ}} - v_2) \cdot v_{\text{общ}} + m_1 \cdot v_{\text{общ}}^2 + m_2 \cdot {v_2}^2 = (m_1 + m_2) \cdot {v_{\text{общ}}}^2\).
Теперь раскроем скобки и упростим уравнение:
\(\frac{m_2^2}{m_1} \cdot (v_{\text{общ}} - v_2)^2 + 2 \cdot \frac{m_2}{m_1} \cdot (v_{\text{общ}} - v_2) \cdot v_{\text{общ}} + m_1 \cdot v_{\text{общ}}^2 + m_2 \cdot {v_2}^2 = (m_1 + m_2) \cdot {v_{\text{общ}}}^2\),
\(\frac{m_2^2}{m_1} \cdot (v_{\text{общ}}^2 - 2 \cdot v_{\text{общ}} \cdot v_2 + v_2^2) + 2 \cdot \frac{m_2}{m_1} \cdot (v_{\text{общ}} - v_2) \cdot v_{\text{общ}} + m_1 \cdot v_{\text{общ}}^2 + m_2 \cdot {v_2}^2 = (m_1 + m_2) \cdot {v_{\text{общ}}}^2\),
\(\frac{m_2^2}{m_1} \cdot v_{\text{общ}}^2 - 2 \cdot \frac{m_2^2}{m_1} \cdot v_{\text{общ}} \cdot v_2 + \frac{m_2^2}{m_1} \cdot v_2^2 + 2 \cdot \frac{m_2}{m_1} \cdot v_{\text{общ}}^2 - 2 \cdot \frac{m_2}{m_1} \cdot v_{\text{общ}} \cdot v_2 + m_1 \cdot v_{\text{общ}}^2 + m_2 \cdot {v_2}^2 = (m_1 + m_2) \cdot {v_{\text{общ}}}^2\),
\(\frac{m_2^2}{m_1} \cdot v_{\text{общ}}^2 - 2 \cdot \frac{m_2^2}{m_1} \cdot v_{\text{общ}} \cdot v_2 + \frac{m_2^2}{m_1} \cdot v_2^2 + 2 \cdot \frac{m_2}{m_1} \cdot v_{\text{общ}}^2 - 2 \cdot \frac{m_2}{m_1} \cdot v_{\text{общ}} \cdot v_2 + m_1 \cdot v_{\text{общ}}^2 + m_2 \cdot {v_2}^2 - (m_1 + m_2) \cdot {v_{\text{общ}}}^2 = 0\),
\(\frac{m_2^2}{m_1} \cdot v_{\text{общ}}^2 - 2 \cdot \frac{m_2^2}{m_1} \cdot v_{\text{общ}} \cdot v_2 + \frac{m_2^2}{m_1} \cdot v_2^2 + 2 \cdot \frac{m_2}{m_1} \cdot v_{\text{общ}}^2 - 2 \cdot \frac{m_2}{m_1} \cdot v_{\text{общ}} \cdot v_2 + m_1 \cdot v_{\text{общ}}^2 + m_2 \cdot {v_2}^2 - m_1 \cdot {v_{\text{общ}}}^2 - m_2 \cdot {v_{\text{общ}}}^2 = 0\).
Теперь сгруппируем слагаемые:
\(\left(\frac{m_2^2}{m_1} + 2 \cdot \frac{m_2}{m_1} - m_2\right) \cdot v_{\text{общ}}^2 + \left(\frac{m_2^2}{m_1} - 2 \cdot \frac{m_2}{m_1} + m_2\right) \cdot v_2^2 = 0\),
\(\left(\frac{m_2^2 + 2 \cdot m_2 \cdot m_1 - m_2 \cdot m_1}{m_1}\right) \cdot v_{\text{общ}}^2 + \left(\frac{m_2^2 - 2 \cdot m_2 \cdot m_1 + m_2 \cdot m_1}{m_1}\right) \cdot v_2^2 = 0\),
\(\frac{m_2^2 + m_2 \cdot (2 \cdot m_1 - m_1)}{m_1} \cdot v_{\text{общ}}^2 + \frac{m_2^2 - m_2 \cdot (2 \cdot m_1 - m_1)}{m_1} \cdot v_2^2 = 0\),
\(\frac{m_2(m_2 + m_1)}{m_1} \cdot v_{\text{общ}}^2 + \frac{m_2(m_2 - m_1)}{m_1} \cdot v_2^2 = 0\),
\(\frac{m_2(m_2 + m_1)}{m_1} \cdot v_{\text{общ}}^2 = -\frac{m_2(m_2 - m_1)}{m_1} \cdot v_2^2\).
Теперь найдем соотношение между \(v_{\text{общ}}} и \(v_2\):
\(\frac{m_2(m_2 + m_1)}{m_1} \cdot v_{\text{общ}}^2 = -\frac{m_2(m_2 - m_1)}{m_1} \cdot v_2^2\),
\(v_{\text{общ}}^2 = -\frac{m_2(m_2 - m_1)}{m_2(m_1 + m_2)} \cdot v_2^2\),
\(v_{\text{общ}}} = \sqrt{-\frac{m_2(m_2 - m_1)}{m_2(m_1 + m_2)}} \cdot v_2\).
Теперь найдем изменение кинетической энергии, используя полученное значение \(v_{\text{общ}}\):
\(\Delta E_{\text{кин}} = \frac{1}{2} \cdot (m_1 + m_2) \cdot {v_{\text{общ}}}^2 - \frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot {v_1}^2 - \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot {v_2}^2\).
Подставим выражение для \(v_{\text{общ}}\):
\(\Delta E_{\text{кин}} = \frac{1}{2} \cdot (m_1 + m_2) \cdot \left(\sqrt{-\frac{m_2(m_2 - m_1)}{m_2(m_1 + m_2)}} \cdot v_2\right)^2 - \frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot \left(\frac{m_2}{m_1} \cdot (v_{\text{общ}} - v_2) + v_{\text{общ}}\right)^2 - \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot {v_2}^2\).
Теперь проведем вычисления и упростим полученное выражение:
\(\Delta E_{\text{кин}} = \frac{1}{2} \cdot (m_1 + m_2) \cdot \frac{m_2(m_2 - m_1)}{m_2(m_1 + m_2)} \cdot v_2^2 - \frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot \left(\frac{m_2}{m_1} \cdot \sqrt{-\frac{m_2(m_2 - m_1)}{m_2(m_1 + m_2)}} \cdot v_2\right)^2 - \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot v_2^2\),
\(\Delta
1. Закон сохранения импульса гласит, что сумма импульсов системы до и после столкновения остается неизменной. При абсолютно упругом столкновении вагонов, импульс будет сохраняться.
Выразим импульс системы до и после столкновения:
\(p_{\text{до}} = m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2\) - импульс системы до столкновения,
\(p_{\text{после}} = m_1 \cdot v_1" + m_2 \cdot v_2"\) - импульс системы после столкновения,
где \(v_1\) и \(v_2\) - начальные скорости вагонов, а \(v_1"\) и \(v_2"\) - их скорости после столкновения.
Так как вагоны сцепились и двигаются вместе после столкновения, то \(v_1" = v_2" = v_{\text{общ}}\) - общая скорость массы m1 и m2.
Из закона сохранения импульса получаем: \(m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = (m_1 + m_2) \cdot v_{\text{общ}}\).
2. Закон сохранения энергии гласит, что сумма кинетических энергий системы до и после столкновения также остается неизменной при абсолютно упругом столкновении.
Выразим кинетическую энергию системы до и после столкновения:
\(E_{\text{до}} = \frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot {v_1}^2 + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot {v_2}^2\) - кинетическая энергия системы до столкновения,
\(E_{\text{после}} = \frac{1}{2} \cdot (m_1 + m_2) \cdot {v_{\text{общ}}}^2\) - кинетическая энергия системы после столкновения.
Из закона сохранения энергии получаем: \(\frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot {v_1}^2 + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot {v_2}^2 = \frac{1}{2} \cdot (m_1 + m_2) \cdot {v_{\text{общ}}}^2\).
Теперь мы можем решить систему уравнений, состоящую из выражений для сохранения импульса и энергии, чтобы определить конечные скорости и изменение кинетической энергии.
Упростим уравнение сохранения импульса:
\(m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = (m_1 + m_2) \cdot v_{\text{общ}}\),
\(m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = m_1 \cdot v_{\text{общ}} + m_2 \cdot v_{\text{общ}}\),
\(m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = (m_1 + m_2) \cdot v_{\text{общ}}\),
\(m_1 \cdot (v_1 - v_{\text{общ}}) = m_2 \cdot (v_{\text{общ}} - v_2)\),
\(v_1 - v_{\text{общ}} = \frac{m_2}{m_1} \cdot (v_{\text{общ}} - v_2)\).
Упростим уравнение сохранения энергии:
\(\frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot {v_1}^2 + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot {v_2}^2 = \frac{1}{2} \cdot (m_1 + m_2) \cdot {v_{\text{общ}}}^2\),
\(m_1 \cdot {v_1}^2 + m_2 \cdot {v_2}^2 = (m_1 + m_2) \cdot {v_{\text{общ}}}^2\).
Теперь, используя уравнение сохранения импульса, выразим \(v_1 - v_{\text{общ}}\):
\(v_1 - v_{\text{общ}} = \frac{m_2}{m_1} \cdot (v_{\text{общ}} - v_2)\),
\(v_1 - v_{\text{общ}} = \frac{m_2}{m_1} \cdot v_{\text{общ}} - \frac{m_2}{m_1} \cdot v_2\),
\(v_1 - \frac{m_2}{m_1} \cdot v_{\text{общ}} = -\frac{m_2}{m_1} \cdot v_2\),
\(v_1 = \frac{m_2}{m_1} \cdot v_{\text{общ}} - \frac{m_2}{m_1} \cdot v_2 + v_{\text{общ}}\),
\(v_1 = \frac{m_2}{m_1} \cdot (v_{\text{общ}} - v_2) + v_{\text{общ}}\).
Теперь подставим это значение \(v_1\) в уравнение сохранения энергии:
\(m_1 \cdot {v_1}^2 + m_2 \cdot {v_2}^2 = (m_1 + m_2) \cdot {v_{\text{общ}}}^2\),
\(m_1 \cdot \left(\frac{m_2}{m_1} \cdot (v_{\text{общ}} - v_2) + v_{\text{общ}}\right)^2 + m_2 \cdot {v_2}^2 = (m_1 + m_2) \cdot {v_{\text{общ}}}^2\),
\(m_1 \cdot \left(\frac{m_2}{m_1}\right)^2 \cdot (v_{\text{общ}} - v_2)^2 + 2 \cdot \frac{m_2}{m_1} \cdot (v_{\text{общ}} - v_2) \cdot v_{\text{общ}} + m_1 \cdot v_{\text{общ}}^2 + m_2 \cdot {v_2}^2 = (m_1 + m_2) \cdot {v_{\text{общ}}}^2\).
Теперь раскроем скобки и упростим уравнение:
\(\frac{m_2^2}{m_1} \cdot (v_{\text{общ}} - v_2)^2 + 2 \cdot \frac{m_2}{m_1} \cdot (v_{\text{общ}} - v_2) \cdot v_{\text{общ}} + m_1 \cdot v_{\text{общ}}^2 + m_2 \cdot {v_2}^2 = (m_1 + m_2) \cdot {v_{\text{общ}}}^2\),
\(\frac{m_2^2}{m_1} \cdot (v_{\text{общ}}^2 - 2 \cdot v_{\text{общ}} \cdot v_2 + v_2^2) + 2 \cdot \frac{m_2}{m_1} \cdot (v_{\text{общ}} - v_2) \cdot v_{\text{общ}} + m_1 \cdot v_{\text{общ}}^2 + m_2 \cdot {v_2}^2 = (m_1 + m_2) \cdot {v_{\text{общ}}}^2\),
\(\frac{m_2^2}{m_1} \cdot v_{\text{общ}}^2 - 2 \cdot \frac{m_2^2}{m_1} \cdot v_{\text{общ}} \cdot v_2 + \frac{m_2^2}{m_1} \cdot v_2^2 + 2 \cdot \frac{m_2}{m_1} \cdot v_{\text{общ}}^2 - 2 \cdot \frac{m_2}{m_1} \cdot v_{\text{общ}} \cdot v_2 + m_1 \cdot v_{\text{общ}}^2 + m_2 \cdot {v_2}^2 = (m_1 + m_2) \cdot {v_{\text{общ}}}^2\),
\(\frac{m_2^2}{m_1} \cdot v_{\text{общ}}^2 - 2 \cdot \frac{m_2^2}{m_1} \cdot v_{\text{общ}} \cdot v_2 + \frac{m_2^2}{m_1} \cdot v_2^2 + 2 \cdot \frac{m_2}{m_1} \cdot v_{\text{общ}}^2 - 2 \cdot \frac{m_2}{m_1} \cdot v_{\text{общ}} \cdot v_2 + m_1 \cdot v_{\text{общ}}^2 + m_2 \cdot {v_2}^2 - (m_1 + m_2) \cdot {v_{\text{общ}}}^2 = 0\),
\(\frac{m_2^2}{m_1} \cdot v_{\text{общ}}^2 - 2 \cdot \frac{m_2^2}{m_1} \cdot v_{\text{общ}} \cdot v_2 + \frac{m_2^2}{m_1} \cdot v_2^2 + 2 \cdot \frac{m_2}{m_1} \cdot v_{\text{общ}}^2 - 2 \cdot \frac{m_2}{m_1} \cdot v_{\text{общ}} \cdot v_2 + m_1 \cdot v_{\text{общ}}^2 + m_2 \cdot {v_2}^2 - m_1 \cdot {v_{\text{общ}}}^2 - m_2 \cdot {v_{\text{общ}}}^2 = 0\).
Теперь сгруппируем слагаемые:
\(\left(\frac{m_2^2}{m_1} + 2 \cdot \frac{m_2}{m_1} - m_2\right) \cdot v_{\text{общ}}^2 + \left(\frac{m_2^2}{m_1} - 2 \cdot \frac{m_2}{m_1} + m_2\right) \cdot v_2^2 = 0\),
\(\left(\frac{m_2^2 + 2 \cdot m_2 \cdot m_1 - m_2 \cdot m_1}{m_1}\right) \cdot v_{\text{общ}}^2 + \left(\frac{m_2^2 - 2 \cdot m_2 \cdot m_1 + m_2 \cdot m_1}{m_1}\right) \cdot v_2^2 = 0\),
\(\frac{m_2^2 + m_2 \cdot (2 \cdot m_1 - m_1)}{m_1} \cdot v_{\text{общ}}^2 + \frac{m_2^2 - m_2 \cdot (2 \cdot m_1 - m_1)}{m_1} \cdot v_2^2 = 0\),
\(\frac{m_2(m_2 + m_1)}{m_1} \cdot v_{\text{общ}}^2 + \frac{m_2(m_2 - m_1)}{m_1} \cdot v_2^2 = 0\),
\(\frac{m_2(m_2 + m_1)}{m_1} \cdot v_{\text{общ}}^2 = -\frac{m_2(m_2 - m_1)}{m_1} \cdot v_2^2\).
Теперь найдем соотношение между \(v_{\text{общ}}} и \(v_2\):
\(\frac{m_2(m_2 + m_1)}{m_1} \cdot v_{\text{общ}}^2 = -\frac{m_2(m_2 - m_1)}{m_1} \cdot v_2^2\),
\(v_{\text{общ}}^2 = -\frac{m_2(m_2 - m_1)}{m_2(m_1 + m_2)} \cdot v_2^2\),
\(v_{\text{общ}}} = \sqrt{-\frac{m_2(m_2 - m_1)}{m_2(m_1 + m_2)}} \cdot v_2\).
Теперь найдем изменение кинетической энергии, используя полученное значение \(v_{\text{общ}}\):
\(\Delta E_{\text{кин}} = \frac{1}{2} \cdot (m_1 + m_2) \cdot {v_{\text{общ}}}^2 - \frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot {v_1}^2 - \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot {v_2}^2\).
Подставим выражение для \(v_{\text{общ}}\):
\(\Delta E_{\text{кин}} = \frac{1}{2} \cdot (m_1 + m_2) \cdot \left(\sqrt{-\frac{m_2(m_2 - m_1)}{m_2(m_1 + m_2)}} \cdot v_2\right)^2 - \frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot \left(\frac{m_2}{m_1} \cdot (v_{\text{общ}} - v_2) + v_{\text{общ}}\right)^2 - \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot {v_2}^2\).
Теперь проведем вычисления и упростим полученное выражение:
\(\Delta E_{\text{кин}} = \frac{1}{2} \cdot (m_1 + m_2) \cdot \frac{m_2(m_2 - m_1)}{m_2(m_1 + m_2)} \cdot v_2^2 - \frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot \left(\frac{m_2}{m_1} \cdot \sqrt{-\frac{m_2(m_2 - m_1)}{m_2(m_1 + m_2)}} \cdot v_2\right)^2 - \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot v_2^2\),
\(\Delta
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
