Какова связь между числом вершин выпуклого n-угольника и суммой его внутренних углов?

Конечно, разберем эту задачу подробно.

Для начала, давайте разберемся, что такое выпуклый \( n \)-угольник. Определение выпуклого многоугольника состоит в том, что все его углы оказываются выпуклыми, то есть все внутренние углы данного многоугольника меньше \( 180^\circ \).

Теперь мы можем приступить к определению связи между числом вершин и суммой внутренних углов выпуклого \( n \)-угольника.

Общее количество углов в любом \( n \)-угольнике равно числу его вершин, и мы знаем, что каждая вершина соединена с другими двумя вершинами. Если мы представим это в виде простого многоугольника, то мы можем провести диагональ от каждой вершины. Каждая диагональ будет создавать новый треугольник, образованный этой диагональю и двумя сторонами многоугольника из данной вершины.

Таким образом, общее количество треугольников, составленных данным многоугольником, будет равно общему числу диагоналей, и каждая диагональ создает один треугольник.

Число диагоналей можно найти следующим образом: мы знаем, что каждая вершина соединена с двумя другими вершинами. Всего для этого нам требуется выбрать две вершины из \( n \) (количество вершин), что означает, что число диагоналей равно число сочетаний \( C(n,2) \).

Таким образом, общее число треугольников в многоугольнике равно \( C(n,2) \).

Очевидно, что сумма внутренних углов всех треугольников должна быть равна сумме внутренних углов многоугольника. И так как в каждом треугольнике всего три угла и их сумма равна \( 180^\circ \), то сумма внутренних углов всех треугольников будет равна \( C(n,2) \cdot 180^\circ \).

Таким образом, мы можем заключить, что сумма внутренних углов выпуклого \( n \)-угольника равна \( C(n,2) \cdot 180^\circ \).

Это довольно интересное соотношение, и оно позволяет нам находить сумму внутренних углов для любого выпуклого \( n \)-угольника, используя количество его вершин.