Какова сумма всех значений Х, кратных 6, для которых выполняется неравенство

Конечно! Для решения этой задачи, нам нужно определить все значения \(x\), которые кратны 6 и удовлетворяют неравенству.

Неравенство, которое нам дано, имеет следующий вид:

\[x^2 + 7x > 10\]

Давайте разберемся с левой частью неравенства. Чтобы произведение двух чисел было положительным, оба числа должны либо быть положительными, либо отрицательными. Подумайм, когда \(x^2\) будет положительным. Квадрат any real number всегда неотрицателен, так что у нас есть два случая:

1. Когда \(x^2 > 0\) и \(7x > 0\),
2. Когда \(x^2 < 0\) и \(7x < 0\).

Рассмотрим первый случай. Неравенство \(x^2 > 0\) выполняется для всех значений \(x\) кроме \(x = 0\). Аналогично, неравенство \(7x > 0\) выполняется, когда \(x > 0\). Таким образом, в первом случае выполняются два условия:

1. \(x > 0\),
2. \(x \neq 0\).

Теперь рассмотрим второй случай. Неравенство \(x^2 < 0\) не имеет решений, так как квадрат any real number не может быть меньше нуля. А неравенство \(7x < 0\) выполняется, когда \(x < 0\). Так что второй случай не дает нам решений.

Таким образом, мы установили, что для выполнения неравенства \(x^2 + 7x > 10\), необходимо, чтобы \(x\) было положительным и отличным от нуля. Однако, нас интересуют только те значения \(x\), которые кратны 6.

Поэтому, давайте сосредоточимся на поиске всех положительных значений \(x\), кратных 6. Мы можем начать с \(x = 6\) и далее добавлять 6 к полученному значению, чтобы получить следующее значение, кратное 6. Таким образом, положительные значения \(x\), кратные 6, будут выглядеть следующим образом:

6, 12, 18, 24, ...

Мы можем использовать эту последовательность, чтобы найти все значения \(x\), удовлетворяющие нашему неравенству. Теперь осталось только сложить все значения \(x\), кратные 6.

\[6 + 12 + 18 + 24 + \ldots\]

Мы видим, что это арифметическая прогрессия с первым членом \(a = 6\) и разностью \(d = 6\). Нам нужно найти сумму \(n\) членов этой прогрессии, где \(n\) - количество членов, которые мы хотим просуммировать.

Для нахождения суммы арифметической прогрессии используется формула:

\[S = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)\]

В нашем случае, первый член \(a = 6\), разность \(d = 6\), и мы хотим найти сумму всех значений \(x\), кратных 6. Это означает, что количество членов \(n\) будет равно количеству значений \(x\) в нашей последовательности.

Предположим, что у нас есть \(n\) членов в последовательности. Тогда последний член будет равен \(a + (n-1)d\). В нашем случае это будет \(6 + (n-1)6\). Таким образом, мы можем записать наше неравенство в виде:

\[(\frac{n}{2})(12 + (n-1)6) > 10\]

Раскроем скобки и упростим:

\[\frac{n}{2}(12 + 6n - 6) > 10\]
\[\frac{n}{2}(6n + 6) > 10\]
\[3n^2 + 3n - 10 > 0\]

Теперь мы имеем квадратное неравенство, и нам нужно найти все значения \(n\), для которых выполняется это неравенство. Но в данной задаче мы ищем сумму всех значений \(x\), кратных 6, поэтому мы не будем решать эту квадратную неравенство и оставим его в данной форме.

Таким образом, сумма всех значений \(x\), кратных 6, для которых выполняется данное неравенство, выглядит как

\(\frac{n}{2}(12 + (n-1)6)\), где \(n\) - количество членов в последовательности \(6, 12, 18, 24, \ldots\), удовлетворяющей неравенству \(x^2 + 7x > 10\).

Надеюсь, что этот ответ был понятен и полезен для вас. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.