Какова сумма всех натуральных чисел, меньших или равных 500, которые не являются кратными?

Чтобы решить данную задачу, нам необходимо найти сумму всех натуральных чисел, которые не являются кратными числу 2, 3 или 5 и не превосходят 500.

1. Первым шагом, давайте найдем сумму чисел, не являющихся кратными 2. Такие числа образуют арифметическую прогрессию с шагом 2. Найдем количество таких чисел. Количество чисел в арифметической прогрессии можно найти по формуле \(N = \frac{{a_n - a_1}}{{d}} + 1\), где \(a_n\) - последний член прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(d\) - шаг прогрессии. В данном случае \(a_n = 500\), \(a_1 = 1\), \(d = 2\).

Подставим значения и найдем количество чисел, не являющихся кратными 2:

\[N = \frac{{500 - 1}}{{2}} + 1 = \frac{{499}}{{2}} + 1 = 250 + 1 = 251\]

Таким образом, количество натуральных чисел, не являющихся кратными 2, и не превосходящих 500, равно 251.

Далее, чтобы найти сумму этих чисел, воспользуемся формулой для суммы арифметической прогрессии:

\[S = \frac{{N \cdot (a_1 + a_n)}}{2}\]

где \(S\) - сумма чисел прогрессии, \(N\) - количество чисел, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(a_n\) - последний член прогрессии.

Подставим значения в формулу:

\[S = \frac{{251 \cdot (1 + 499)}}{2} = \frac{{251 \cdot 500}}{2} = 125500\]

Таким образом, сумма всех натуральных чисел, не являющихся кратными 2 и не превосходящих 500, равна 125500.

2. Теперь перейдем к числам, не являющимся кратными 3. Аналогично, найдем количество таких чисел. Для этого будем использовать формулу, которую мы уже рассмотрели выше.

Подставим значения: \(a_n = 500\), \(a_1 = 1\), \(d = 3\).

\[N = \frac{{500 - 1}}{{3}} + 1 = \frac{{499}}{{3}} + 1 \approx 166.33 + 1 \approx 167\]

Количество натуральных чисел, не являющихся кратными 3, и не превосходящих 500, составляет 167.

Найдем их сумму, используя формулу:

\[S = \frac{{N \cdot (a_1 + a_n)}}{2} = \frac{{167 \cdot (1 + 500)}}{2} = \frac{{167 \cdot 501}}{2} = 41783.5\]

Таким образом, сумма всех натуральных чисел, не являющихся кратными 3 и не превосходящих 500, составляет 41783.5.

3. Наконец, найдем сумму чисел, не являющихся кратными 5. Снова применим ранее использованную формулу для нахождения количества чисел и их суммы.

Подставим значения: \(a_n = 500\), \(a_1 = 1\), \(d = 5\).

\[N = \frac{{500 - 1}}{{5}} + 1 = \frac{{499}}{{5}} + 1 \approx 99.8 + 1 \approx 100\]

Количество натуральных чисел, не являющихся кратными 5, и не превосходящих 500, равно 100.

Найдем их сумму:

\[S = \frac{{N \cdot (a_1 + a_n)}}{2} = \frac{{100 \cdot (1 + 500)}}{2} = \frac{{100 \cdot 501}}{2} = 25050\]

Таким образом, сумма всех натуральных чисел, не являющихся кратными 5 и не превосходящих 500, составляет 25050.

4. В конечном итоге, чтобы найти сумму чисел, которые не являются кратными 2, 3 или 5, нужно сложить суммы, найденные ранее:

\[125500 + 41783.5 + 25050 = 192333.5\]

Сумма всех натуральных чисел, меньших или равных 500, которые не являются кратными 2, 3 или 5, равна 192333.5. Ответ округляем до ближайшего целого числа. Поэтому окончательный ответ составляет 192334.