Входит ли число 54,5 в последовательность (аn) арифметической прогрессии, где а1=25,5 и а9=5,5?

Чтобы выяснить, входит ли число 54,5 в данную арифметическую прогрессию, мы должны сначала найти общую разность прогрессии (\(d\)).

Для этого мы можем использовать формулу для \(n\)-го члена арифметической прогрессии:
\[a_n = a_1 + (n-1)d\]

В данной задаче имеем следующую информацию:
\(a_1 = 25,5\) (значение первого члена прогрессии)
\(a_9 = 5,5\) (значение девятого члена прогрессии)

Мы можем использовать эти данные, чтобы составить два уравнения с неизвестной разностью (\(d\)):
\[25,5 = a_1 + (1-1)d\]
\[5,5 = a_1 + (9-1)d\]

Первое уравнение показывает значение первого члена прогрессии, а второе уравнение показывает значение девятого члена.

Теперь решим систему уравнений.
Из первого уравнения мы можем выразить \(a_1\):
\[25,5 = a_1\]

Теперь заменим \(a_1\) вторым уравнением:
\[5,5 = 25,5 + 8d\]

Вычтем 25,5 из обеих сторон уравнения:
\[5,5 - 25,5 = 25,5 + 8d - 25,5\]
\[-20 = 8d\]

Разделим обе стороны на 8, чтобы найти значение \(d\):
\[-\frac{{20}}{{8}} = \frac{{8d}}{{8}}\]
\[-\frac{{5}}{{2}} = d\]

Итак, мы нашли, что разность прогрессии (\(d\)) равна \(-\frac{{5}}{{2}}\).

Теперь, чтобы выяснить, входит ли число 54,5 в прогрессию, мы можем подставить его в формулу для \(n\)-го члена прогрессии и проверить, совпадает ли он со значением этого члена.

Для этого используем формулу:
\[a_n = a_1 + (n-1)d\]

Подставим значения:
\[54,5 = 25,5 + (n-1)\left(-\frac{{5}}{{2}}\right)\]

Выполним некоторые алгебраические преобразования:
\[54,5 = 25,5 - \frac{{5}}{{2}}n + \frac{{5}}{{2}}\]

\[54,5 - 25,5 - \frac{{5}}{{2}} = \frac{{5}}{{2}}n\]

\[29 = \frac{{5}}{{2}}n\]

Чтобы узнать, входит ли число 54,5 в прогрессию, нам нужно узнать, является ли выражение \(\frac{{29}}{{\frac{{5}}{{2}}}}\) целым числом.

Выполним деление:
\[\frac{{29}}{{\frac{{5}}{{2}}}} = \frac{{29 \cdot 2}}{{5}} = \frac{{58}}{{5}}\]

Заметим, что \(\frac{{58}}{{5}}\) не является целым числом, потому что 5 не делит 58 нацело.

Таким образом, число 54,5 не входит в данную арифметическую прогрессию.