Какова сумма всех чисел в арифметической прогрессии 2, 6, ... начиная с седьмого числа и заканчивая тринадцатым числом?

Для решения данной задачи необходимо сначала найти седьмое и тринадцатое число в заданной арифметической прогрессии, а затем найти их сумму.

Для арифметической прогрессии у нас есть формула для нахождения общего члена ряда:

\[a_n = a_1 + (n-1) \cdot d\]

где \(a_n\) - общий член прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(n\) - номер члена прогрессии, \(d\) - разность между соседними членами прогрессии.

У нас уже есть первые два члена прогрессии: 2 и 6. Мы знаем, что первый член \(a_1 = 2\) и разность между соседними членами \(d = 6 - 2 = 4\).

Чтобы найти седьмое число, мы можем подставить значения в формулу:

\[a_7 = 2 + (7-1) \cdot 4 = 2 + 6 \cdot 4 = 2 + 24 = 26\]

Аналогично, чтобы найти тринадцатое число, мы снова используем формулу:

\[a_{13} = 2 + (13-1) \cdot 4 = 2 + 12 \cdot 4 = 2 + 48 = 50\]

Теперь, чтобы найти сумму всех чисел в заданном диапазоне от седьмого до тринадцатого числа, мы можем использовать формулу для суммы арифметической прогрессии:

\[S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)\]

где \(S_n\) - сумма первых \(n\) членов прогрессии.

Подставляем значения в формулу:

\[S = \frac{7}{2} \cdot (2 + 50) = \frac{7}{2} \cdot 52 = 7 \cdot 26 = 182\]

Итак, сумма всех чисел в арифметической прогрессии, начиная с седьмого числа и заканчивая тринадцатым числом, равна 182.