Какова сумма первых шести членов геометрической прогрессии со вторым членом B2 = 896 * ½^2?

Хорошо, давайте решим задачу пошагово. Для начала нам нужно понять, какой будет первый член геометрической прогрессии. В данной задаче у нас задан второй член \(B_2 = 896 \cdot \frac{1}{2^2}\).

Сначала посчитаем значение \(B_2\):

\[ B_2 = 896 \cdot \frac{1}{2^2} = 896 \cdot \frac{1}{4} = 224 \]

Значит, второй член геометрической прогрессии равен 224.

Теперь, когда у нас есть второй член, нам необходимо найти первый член геометрической прогрессии. Для этого мы воспользуемся формулой для общего члена геометрической прогрессии:

\[ B_n = B_1 \cdot q^{n-1} \]

Где \(B_n\) - n-й член прогрессии, \(B_1\) - первый член прогрессии, \(q\) - знаменатель прогрессии, \(n\) - номер члена прогрессии.

Мы знаем, что \(B_2 = 224\) и \(q = \frac{1}{2}\). Подставим эти значения в формулу и найдем \(B_1\):

\[ 224 = B_1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{2-1} = B_1 \cdot \frac{1}{2} \]

Чтобы найти значение \(B_1\), мы перемножим обе части уравнения на 2:

\[ 224 \cdot 2 = B_1 \cdot 1 \]

\[ B_1 = 448 \]

Таким образом, первый член геометрической прогрессии равен 448.

Теперь мы можем найти сумму первых шести членов геометрической прогрессии. Для этого воспользуемся формулой для суммы членов геометрической прогрессии:

\[ S_n = \frac{B_1(q^n - 1)}{q-1} \]

Где \(S_n\) - сумма первых \(n\) членов прогрессии. Мы знаем, что первый член \(B_1 = 448\), знаменатель \(q = \frac{1}{2}\) и количество членов \(n = 6\). Подставим эти значения в формулу:

\[ S_6 = \frac{448 \left(\left(\frac{1}{2}\right)^6 - 1\right)}{\frac{1}{2}-1} \]

Упростим выражение внутри скобок:

\[ \left(\frac{1}{2}\right)^6 - 1 = \frac{1}{64} - 1 = \frac{1}{64} - \frac{64}{64} = -\frac{63}{64} \]

Теперь подставим полученное значение обратно в исходную формулу:

\[ S_6 = \frac{448 \cdot (-\frac{63}{64})}{\frac{1}{2}-1} \]

Сократим числитель на \(64\):

\[ S_6 = -\frac{448 \cdot 63}{2-1} \]

Упростим деление \(2-1\) и умножение \(448 \cdot 63\):

\[ S_6 = -\frac{448 \cdot 63}{1} = -28224 \]

Таким образом, сумма первых шести членов геометрической прогрессии равна \(-28224\).