Какова сумма первых пяти членов геометрической прогрессии, если мы знаем, что третий член равен 5, а шестой член равен

Для решения этой задачи нам потребуется использовать формулу для суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии. Давайте разберемся пошагово:

Шаг 1: Найдем знаменатель прогрессии (\(q\)).
Известно, что третий член геометрической прогрессии равен 5. Мы можем записать это следующим образом:
\[a_3 = a_1 \cdot q^{3-1} = 5\]
Здесь \(a_3\) - значение третьего члена, \(a_1\) - значение первого члена, а \(q\) - знаменатель прогрессии. Мы можем переписать это уравнение, используя известное значение \(a_3 = 5\):
\[5 = a_1 \cdot q^2\]

Шаг 2: Найдем значение первого члена прогрессии (\(a_1\)).
Для этого нам дано значение шестого члена геометрической прогрессии:
\[a_6 = a_1 \cdot q^{6-1} = 625\]
Мы можем переписать это уравнение, используя известное значение \(a_6 = 625\):
\[625 = a_1 \cdot q^5\]

Шаг 3: Решим систему уравнений.
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
\[\begin{cases} 5 = a_1 \cdot q^2 \\ 625 = a_1 \cdot q^5 \end{cases}\]
Мы можем использовать эти два уравнения, чтобы найти значения \(a_1\) и \(q\).

Шаг 4: Найдем значение \(q\).
Разделим второе уравнение на первое:
\[\frac{625}{5} = \frac{a_1 \cdot q^5}{a_1 \cdot q^2}\]
Сокращаем \(a_1\):
\[\frac{625}{5} = q^3\]
\[(125) = q^3\]
Извлекаем кубический корень от обеих сторон:
\[5 = q\]

Шаг 5: Найдем значение \(a_1\).
Подставим найденное значение \(q = 5\) в любое из уравнений:
\[5 = a_1 \cdot 5^2\]
\[5 = 25a_1\]
Разделим обе стороны уравнения на 25:
\[\frac{5}{25} = a_1\]
\[a_1 = \frac{1}{5}\]

Шаг 6: Найдем сумму первых пяти членов геометрической прогрессии.
Формула для суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии выглядит следующим образом:
\[S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}\]
Подставим известные значения:
\[S_5 = \frac{\frac{1}{5}(5^5 - 1)}{5 - 1}\]
\[S_5 = \frac{\frac{1}{5}(3124)}{4}\]
\[S_5 = \frac{624}{4}\]
\[S_5 = 156\]

Таким образом, сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна 156.