Какова сумма первых пяти членов данной геометрической прогрессии, если известно, что первый член равен -2, а каждый

Данная задача связана с геометрической прогрессией, которая представляет собой последовательность чисел, где каждый следующий элемент получается умножением предыдущего элемента на определенную константу, называемую знаменателем.

В нашем случае, первый член геометрической прогрессии равен -2, а каждый следующий член равен произведению предыдущего члена на знаменатель. Давайте обозначим знаменатель как \(q\).

Таким образом, последовательность первых пяти членов будет выглядеть следующим образом:
\[
-2, -2q, -2q^2, -2q^3, -2q^4
\]

Чтобы найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, нам нужно просуммировать все эти члены. Давайте это сделаем:

\[
-2 + (-2q) + (-2q^2) + (-2q^3) + (-2q^4)
\]

Чтобы упростить выражение и найти сумму, воспользуемся формулой для суммы геометрической прогрессии:

\[
S_n = \frac{a \cdot (1 - q^n)}{1 - q}
\]

Где:
\(S_n\) - сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии
\(a\) - первый член геометрической прогрессии
\(q\) - знаменатель геометрической прогрессии
\(n\) - количество членов, сумму которых мы хотим найти

В нашем случае, \(a = -2\), \(q\) неизвестно, а \(n = 5\). Подставим эти значения в формулу:

\[
S_5 = \frac{-2 \cdot (1 - q^5)}{1 - q}
\]

Теперь нам нужно найти значение \(q\). Мы можем использовать информацию, что каждый следующий член равен произведению предыдущего. В нашем случае:

\[
-2q = (-2) \cdot q
\]

Сокращаем общий множитель (-2) и получаем:

\[
-2q = -2q^2
\]

Теперь решим это уравнение:

\[
-2q^2 + 2q = 0
\]

Выносим общий множитель:

\[
2q \cdot (-q + 1) = 0
\]

Таким образом, получаем два возможных значения \(q\): \(q = 0\) и \(q = 1\). Однако, по условию задачи известно, что каждый следующий член равен произведению предыдущего. Если бы \(q\) было равно нулю, то все последующие члены были бы равны нулю, что противоречит условию задачи (поэтому \(q = 0\) не подходит). Таким образом, остается единственное возможное значение \(q = 1\).

Теперь, подставим значение \(q = 1\) в формулу для суммы геометрической прогрессии:

\[
S_5 = \frac{-2 \cdot (1 - 1^5)}{1 - 1} = \frac{-2 \cdot (1 - 1)}{1 - 1} = \frac{-2 \cdot 0}{0} = 0
\]

Таким образом, сумма первых пяти членов данной геометрической прогрессии равна 0.

Это подробное решение дает нам возможность понять, как получить ответ и почему он равен 0.