Какова сумма первых десяти членов арифметической прогрессии (аn), если известно, что a1=6 и a13=42?

Для решения этой задачи, мы можем использовать формулу для суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии:

\[S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\]

где \(S_n\) - сумма первых \(n\) членов прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(a_n\) - \(n\)-ый член прогрессии.

В данной задаче даны значения для \(a_1\) и \(a_{13}\). Заметим, что \(a_1\) является первым членом, а \(a_{13}\) является \(13\)-ым членом прогрессии.

Теперь нам нужно найти \(S_{10}\), то есть сумму первых десяти членов прогрессии. Мы можем использовать формулу, подставив значения \(a_1\) и \(a_{13}\):

\[S_{10} = \frac{10}{2}(a_1 + a_{10})\]

Первый шаг состоит в вычислении значения \(a_{10}\). Мы знаем, что \(a_{13} = 42\) и \(a_1 = 6\). Так как прогрессия арифметическая, каждый последующий член можно выразить через предыдущий, используя разность прогрессии \(d\):

\[a_n = a_1 + (n-1)d\]

где \(d\) - разность прогрессии.

Для вычисления \(d\) мы можем использовать значения \(a_1\) и \(a_{13}\):

\[d = \frac{a_{13} - a_1}{13 - 1}\]

Теперь, когда у нас есть значение \(d\), мы можем вычислить \(a_{10}\):

\[a_{10} = a_1 + (10 - 1)d\]

Теперь, у нас есть все значения, чтобы вычислить \(S_{10}\):

\[S_{10} = \frac{10}{2}(a_1 + a_{10})\]

Вычислим результат, подставив все значения:

\[S_{10} = \frac{10}{2}(6 + a_{10})\]

Получившееся уравнение можно ещё упростить:

\[S_{10} = 5(6 + a_{10})\]

Теперь найдем \(a_{10}\):

\[d = \frac{42 - 6}{13 - 1} = \frac{36}{12} = 3\]

\[a_{10} = 6 + (10 - 1) \cdot 3 = 6 + 9 \cdot 3 = 6 + 27 = 33\]

Теперь, подставим найденное значение \(a_{10}\) в уравнение для \(S_{10}\):

\[S_{10} = 5(6 + 33) = 5 \cdot 39 = 195\]

Таким образом, сумма первых десяти членов арифметической прогрессии равна 195.