Какова сумма десяти первых членов арифметической прогрессии, если третий член равен 11 и шестой член равен

18?

Чтобы найти сумму первых 10 членов арифметической прогрессии, нам нужно первоначально найти разность прогрессии и затем использовать специальную формулу для нахождения суммы.

Дано, что третий член равен 11, и шестой член равен 18. Мы можем использовать эти данные, чтобы найти разность прогрессии (d), используя формулу:

\[d = \frac{{a_2 - a_1}}{{2}}\]

где \(a_1\) и \(a_2\) - первый и второй члены прогрессии.

Заменив значения, получим:

\[d = \frac{{11 - a_1}}{{2}}\]

Теперь мы знаем, что шестой член равен 18. Мы можем использовать это значение, чтобы найти \(a_1\), используя формулу:

\[a_n = a_1 + (n-1) \cdot d\]

где \(a_n\) - n-ый член прогрессии.

Заменив значения, получим:

\[18 = a_1 + (6-1) \cdot d\]
\[18 = a_1 + 5d\]

Теперь у нас есть два уравнения:

\[d = \frac{{11 - a_1}}{{2}}\]
\[18 = a_1 + 5d\]

Мы можем решить эту систему уравнений, подставив второе уравнение в первое:

\[d = \frac{{11 - (18 - 5d)}}{{2}}\]

Раскроем скобки:

\[d = \frac{{11 - 18 + 5d}}{{2}}\]
\[d = \frac{{-7 + 5d}}{{2}}\]

Умножим обе части уравнения на 2:

\[2d = -7 + 5d\]

Перенесем все члены с d на одну сторону:

\[2d - 5d = -7\]
\[-3d = -7\]

Делаем d положительным, умножив обе части уравнения на -1:

\[3d = 7\]

Теперь найдем \(a_1\) с помощью второго уравнения:

\[18 = a_1 + 5 \cdot \frac{{7}}{{3}}\]

Раскроем скобки:

\[18 = a_1 + \frac{{35}}{{3}}\]

Приведем дробь к общему знаменателю:

\[18 = \frac{{3a_1}}{{3}} + \frac{{35}}{{3}}\]

Сложим числители:

\[18 = \frac{{3a_1 + 35}}{{3}}\]

Умножим обе части уравнения на 3:

\[54 = 3a_1 + 35\]

Вычтем 35 из обеих сторон:

\[54 - 35 = 3a_1\]
\[19 = 3a_1\]

И, наконец, поделим обе части уравнения на 3, чтобы найти значение \(a_1\):

\[a_1 = \frac{{19}}{{3}}\]

Теперь у нас есть значение разности \(d\) и первого члена \(a_1\). Мы можем использовать формулу для нахождения суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии:

\[S_n = \frac{{n \cdot (a_1 + a_n)}}{{2}}\]

Подставим известные значения:

\[S_{10} = \frac{{10 \cdot \left(\frac{{19}}{{3}} + (a_1 + 9d)\right)}}{{2}}\]

Раскроем скобки:

\[S_{10} = \frac{{10 \cdot \left(\frac{{19}}{{3}} + (a_1 + 9 \cdot \frac{{7}}{{3}})\right)}}{{2}}\]

Выполним вычисления:

\[S_{10} = \frac{{10 \cdot \left(\frac{{19}}{{3}} + (\frac{{19}}{{3}} + \frac{{63}}{{3}})\right)}}{{2}}\]

\[S_{10} = \frac{{10 \cdot \frac{{19}}{{3}} + 10 \cdot \frac{{19}}{{3}} + 10 \cdot \frac{{63}}{{3}}}}{{2}}\]

\[S_{10} = \frac{{10 \cdot 19 + 10 \cdot 19 + 10 \cdot 63}}{{2}}\]

\[S_{10} = \frac{{190 + 190 + 630}}{{2}}\]

\[S_{10} = \frac{{1010}}{{2}}\]

\[S_{10} = 505\]

Таким образом, сумма десяти первых членов арифметической прогрессии равна 505.