Какова сумма чисел во всей таблице, если Денис заполняет таблицу 4×4 числами так, чтобы сумма чисел в любых двух

Чтобы решить эту задачу, мы должны определить, какие числа должны стоять в остальных клетках таблицы. Поскольку сумма чисел в любых двух соседних по стороне клетках должна быть одинаковой, мы можем использовать метод последовательного добавления чисел, начиная с известных значений в углах таблицы.

Давайте рассмотрим расположение чисел в таблице. Пусть каждая клетка имеет координаты (i, j), где i обозначает номер строки, а j обозначает номер столбца. Тогда в нижнем левом углу таблицы (4, 1) стоит число 20, а в нижнем правом углу (4, 4) стоит число -19.

+---+---+---+---+
| ? | ? | ? | -19 |
+---+---+---+---+
| ? | ? | ? | ? |
+---+---+---+---+
| ? | ? | ? | ? |
+---+---+---+---+
| 20| ? | ? | ? |
+---+---+---+---+

Заметим, что число в клетке (3, 4) должно быть равно -19, чтобы сумма чисел в любых двух соседних клетках была одинаковая. Поэтому мы можем заполнить эту клетку значением -19.

+---+---+---+---+
| ? | ? | ? | -19 |
+---+---+---+---+
| ? | ? | ? | ? |
+---+---+---+---+
| ? | ? | ? | ? |
+---+---+---+---+
| 20| ? | ? |-19 |
+---+---+---+---+

Теперь рассмотрим клетку (2, 4). Сумма чисел в соседних клетках (3, 4) и (2, 3) должна быть одинаковой. Поскольку число в клетке (3, 4) равно -19, мы можем выразить число в клетке (2, 4) следующим образом:

\[
\text{{число в}} (3, 4) + \text{{число в}} (2, 4) = \text{{сумма чисел в}} (3, 4) \text{{ и }} (2, 3)
\]

\[
-19 + \text{{число в}} (2, 4) = \text{{сумма чисел в}} (3, 4) \text{{ и }} (2, 3)
\]

\[
-19 + \text{{число в}} (2, 4) = \text{{какое-то число}}
\]

Чтобы получить равенство, число в клетке (2, 4) должно быть равно -19.

+---+---+---+----+
| ? | ? | ? | -19 |
+---+---+---+----+
| ? | ? | ? |-19 |
+---+---+---+----+
| ? | ? | ? | ? |
+---+---+---+----+
| 20| ? | ? |-19 |
+---+---+---+----+

Переходим к клетке (2, 3). Сумма чисел в соседних клетках (2, 4) и (2, 2) должна быть одинаковой. Поскольку число в клетке (2, 4) равно -19, мы можем выразить число в клетке (2, 3) следующим образом:

\[
\text{{число в}} (2, 4) + \text{{число в}} (2, 3) = \text{{сумма чисел в}} (2, 4) \text{{ и }} (2, 2)
\]

\[
-19 + \text{{число в}} (2, 3) = \text{{сумма чисел в}} (2, 4) \text{{ и }} (2, 2)
\]

\[
-19 + \text{{число в}} (2, 3) = \text{{какое-то число}}
\]

Чтобы получить равенство, число в клетке (2, 3) должно быть равно -19.

+---+---+----+----+
| ? | ? | -19 |-19 |
+---+---+----+----+
| ? | ? | ? |-19 |
+---+---+----+----+
| ? | ? | ? | ? |
+---+---+----+----+
| 20| ? | -19 |-19 |
+---+---+----+----+

Теперь перейдем к клетке (1, 4). Сумма чисел в соседних клетках (2, 4) и (1, 3) должна быть одинаковой. Поскольку число в клетке (2, 4) равно -19, мы можем выразить число в клетке (1, 4) следующим образом:

\[
\text{{число в}} (2, 4) + \text{{число в}} (1, 4) = \text{{сумма чисел в}} (2, 4) \text{{ и }} (1, 3)
\]

\[
-19 + \text{{число в}} (1, 4) = \text{{сумма чисел в}} (2, 4) \text{{ и }} (1, 3)
\]

\[
-19 + \text{{число в}} (1, 4) = \text{{какое-то число}}
\]

Чтобы получить равенство, число в клетке (1, 4) должно быть равно -19.

+---+----+----+----+
| ? | ? |-19 |-19 |
+---+----+----+----+
| ? | ? | ? |-19 |
+---+----+----+----+
| ? | ? | ? | ? |
+---+----+----+----+
| 20| ? |-19 |-19 |
+---+----+----+----+

Наконец, рассмотрим клетку (1, 3). Сумма чисел в соседних клетках (1, 4) и (1, 2) должна быть одинаковой. Поскольку число в клетке (1, 4) равно -19, мы можем выразить число в клетке (1, 3) следующим образом:

\[
\text{{число в}} (1, 4) + \text{{число в}} (1, 3) = \text{{сумма чисел в}} (1, 4) \text{{ и }} (1, 2)
\]

\[
-19 + \text{{число в}} (1, 3) = \text{{сумма чисел в}} (1, 4) \text{{ и }} (1, 2)
\]

\[
-19 + \text{{число в}} (1, 3) = \text{{какое-то число}}
\]

Чтобы получить равенство, число в клетке (1, 3) должно быть равно -19.

+---+----+----+----+
| ? |-19 |-19 |-19 |
+---+----+----+----+
| ? | ? | ? |-19 |
+---+----+----+----+
| ? | ? | ? | ? |
+---+----+----+----+
| 20| ? |-19 |-19 |
+---+----+----+----+

Теперь, когда мы заполнили значениями клетки по условию задачи, чтобы найти сумму всех чисел в таблице, мы просто складываем все числа, сводя задачу к арифметической прогрессии.

\[
\text{{Сумма}} = (20 + (-19)) \times \frac{{\text{{количество членов}}}}{2}
\]

\[
\text{{Сумма}} = 1 \times \frac{{16}}{2} = 8
\]

Таким образом, сумма всех чисел в таблице равна 8.