Какова стала боковая поверхность после уменьшения образующей цилиндра в 6 раз и увеличения радиуса основания в 3 раза

Для решения данной задачи нам необходимо выполнить два условия: уменьшить образующую цилиндра в 6 раз и увеличить радиус основания в 3 раза.

Первым шагом рассчитаем исходную боковую поверхность цилиндра. Формула для нахождения боковой поверхности цилиндра выглядит следующим образом:

\[S = 2\pi rh\]

где \(S\) - боковая поверхность, \(\pi\) - математическая константа (округленно примерно равная 3.14), \(r\) - радиус основания, \(h\) - высота цилиндра.

Поскольку в данной задаче изначально дано значение для боковой поверхности цилиндра (\(S_0 = 150\)), мы можем использовать данную формулу для нахождения высоты цилиндра \(h\):

\[150 = 2\pi r_0 h \Rightarrow h = \frac{150}{2\pi r_0}\]

Теперь проведем изменения, указанные в условии задачи. Согласно условию, мы должны уменьшить образующую цилиндра в 6 раз. Образующая цилиндра связана с его радиусом \(r\) и высотой \(h\) следующей формулой:

\[l = \sqrt{r^2 + h^2}\]

где \(l\) - образующая цилиндра.

Уменьшим образующую в 6 раз, получим:

\[l" = \frac{l}{6}\]

Увеличим радиус основания в 3 раза:

\[r" = 3r\]

Наша задача состоит в нахождении новой боковой поверхности цилиндра \(S"\) с новыми значениями радиуса \(r"\) и образующей \(l"\).

Для начала найдем новую высоту цилиндра \(h"\) по измененным значениям образующей \(l"\) и радиуса \(r"\):

\[h" = \sqrt{l"^2 - r"^2}\]

Теперь, используя формулу для боковой поверхности цилиндра, найдем новое значение \(S"\):

\[S" = 2\pi r" h"\]

Подставим значения \(r"\), \(h"\) и \(\pi\) в формулу:

\[S" = 2\pi \cdot 3r \cdot \sqrt{\left(\frac{l}{6}\right)^2 - (3r)^2} \]

Раскроем скобки внутри корня:

\[S" = 2\pi \cdot 3r \cdot \sqrt{\frac{l^2}{36} - 9r^2} \]

Теперь мы можем подставить значения \(r\), \(l\) и \(\pi\) (используя найденное значение для \(h\)) в данную формулу, чтобы найти искомое значение \(S"\).jspx_markup("(")