Какова средняя плотность всего торта, если он состоит из трех слоев с высотой h1=15 мм, h2=25 мм и h3=20

Для решения данной задачи, мы можем воспользоваться формулой для средней плотности. Средняя плотность \( \overline{\rho} \), может быть вычислена по формуле:

\[ \overline{\rho} = \frac{m}{V} \]

где \( m \) - масса торта, а \( V \) - объем торта.

Для вычисления массы торта, нам необходимо сложить массы каждого слоя. Массу каждого слоя можно выразить, умножив его объем на его плотность:

\[ m_1 = V_1 \cdot \rho_1 \]
\[ m_2 = V_2 \cdot \rho_2 \]
\[ m_3 = V_3 \cdot \rho_3 \]

Объем каждого слоя торта можно выразить, умножив его площадь на его высоту:

\[ V_1 = S \cdot h_1 \]
\[ V_2 = S \cdot h_2 \]
\[ V_3 = S \cdot h_3 \]

где \( S \) - площадь основания торта. Поскольку основание у всех трех слоев одинаковое, площадь \( S \), можно рассматривать как постоянную.

Теперь мы можем подставить все выражения в формулу для массы торта:

\[ m = m_1 + m_2 + m_3 \]

\[ m = (V_1 \cdot \rho_1) + (V_2 \cdot \rho_2) + (V_3 \cdot \rho_3) \]

\[ m = (S \cdot h_1 \cdot \rho_1) + (S \cdot h_2 \cdot \rho_2) + (S \cdot h_3 \cdot \rho_3) \]

\[ m = S \cdot (h_1 \cdot \rho_1 + h_2 \cdot \rho_2 + h_3 \cdot \rho_3) \]

Теперь мы можем найти объем торта, подставив значение \( S \) из формулы площади основания в выражение для массы торта:

\[ V = S \cdot (h_1 + h_2 + h_3) \]

Теперь мы можем вычислить среднюю плотность торта, разделив массу торта на его объем:

\[ \overline{\rho} = \frac{m}{V} \]

\[ \overline{\rho} = \frac{S \cdot (h_1 \cdot \rho_1 + h_2 \cdot \rho_2 + h_3 \cdot \rho_3)}{S \cdot (h_1 + h_2 + h_3)} \]

\[ \overline{\rho} = \frac{h_1 \cdot \rho_1 + h_2 \cdot \rho_2 + h_3 \cdot \rho_3}{h_1 + h_2 + h_3} \]

Теперь мы можем подставить значения высот и плотностей для каждого слоя и получить окончательный ответ:

\[ \overline{\rho} = \frac{15 \cdot 600 + 25 \cdot 460 + 20 \cdot 400}{15 + 25 + 20} \]

\[ \overline{\rho} = \frac{9000 + 11500 + 8000}{60} \]

\[ \overline{\rho} = \frac{28500}{60} \]

\[ \overline{\rho} \approx 475 \, \text{кг/м}^3 \]

Итак, средняя плотность всего торта составляет около 475 кг/м^3 (килограммов на кубический метр).