Какова средняя плотность тела, после того как оно было полностью погружено в воду, и давление на дно сосуда увеличилось

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать закон Архимеда, который гласит, что плавающее тело в жидкости испытывает всплывающую силу, равную весу вытесненной жидкости. Формула для всплывающей силы:

\[F_{\text{всп}} = \rho_{\text{воды}} \cdot g \cdot V\]

Где:
\(F_{\text{всп}}\) - всплывающая сила,
\(\rho_{\text{воды}}\) - плотность воды,
\(g\) - ускорение свободного падения,
\(V\) - объем вытесненной жидкости.

В данной задаче описывается, что давление на дно сосуда увеличилось на \(\Delta p = 500 \, \text{Па}\), а показания динамометра составили \(F = 9 \, \text{Н}\). Давление можно выразить через силу и площадь:

\(\Delta p = \frac{F}{S}\)

Где:
\(\Delta p\) - изменение давления,
\(F\) - сила,
\(S\) - площадь.

Мы знаем, что изменение давления на дно сосуда вызвано всплывающей силой, причем эта сила равна весу вытесненной жидкости:

\(\Delta p = \rho_{\text{воды}} \cdot g \cdot h\)

Где:
\(\rho_{\text{воды}}\) - плотность воды,
\(g\) - ускорение свободного падения,
\(h\) - высота воды над дном сосуда.

Мы можем выразить высоту воды над дном сосуда через площадь дна сосуда:

\(h = \frac{V}{S}\)

Теперь мы можем объединить все выражения и решить уравнение. Подставляя выражения для \(\Delta p\) и \(h\) в уравнение, получаем:

\(\rho_{\text{воды}} \cdot g \cdot \frac{V}{S} = \Delta p\)

Мы знаем, что плотность тела равна отношению массы тела к его объему:

\(\rho_{\text{тела}} = \frac{m_{\text{тела}}}{V_{\text{тела}}}\)

Объем тела, вытесняющего жидкость, равен объему воды, которая была вытеснена при погружении тела:

\(V_{\text{тела}} = V_{\text{воды}}\)

Теперь мы можем переписать полное уравнение, заменив \(V_{\text{тела}}\) на \(V_{\text{воды}}\):

\(\rho_{\text{тела}} = \frac{m_{\text{тела}}}{V_{\text{воды}}}\)

Таким образом, чтобы найти среднюю плотность тела, нам необходимо выразить массу тела через известные величины. Массу тела можно выразить через давление и площадь дна сосуда:

\(F = m_{\text{тела}} \cdot g\)

\(\Rightarrow m_{\text{тела}} = \frac{F}{g}\)

Подставляем полученное выражение для массы тела в формулу для плотности:

\(\rho_{\text{тела}} = \frac{\frac{F}{g}}{V_{\text{воды}}}\)

Мы знаем, что \(F = 9 \, \text{Н}\), \(g = 10 \, \text{м/с}^2\), и плотность воды \(\rho_{\text{воды}} = 1000 \, \text{кг/м}^3\). Подставим эти значения в уравнение:

\(\rho_{\text{тела}} = \frac{\frac{9}{10}}{V_{\text{воды}}}\)

Теперь нам осталось выразить \(V_{\text{воды}}\) через известные величины. Площадь дна сосуда \(S\) можно найти, зная давление \(\Delta p\) и плотность воды \(\rho_{\text{воды}}\):

\(\Delta p = \rho_{\text{воды}} \cdot g \cdot h\)

\(\Rightarrow h = \frac{\Delta p}{\rho_{\text{воды}} \cdot g}\)

Также мы знаем, что высота воды над дном сосуда \(h\) равна \(V_{\text{воды}}/S\), поэтому:

\(\frac{V_{\text{воды}}}{S} = \frac{\Delta p}{\rho_{\text{воды}} \cdot g}\)

Мы можем выразить \(V_{\text{воды}}\) по этому уравнению:

\(V_{\text{воды}} = \frac{S \cdot \Delta p}{\rho_{\text{воды}} \cdot g}\)

Теперь мы можем подставить это выражение для \(V_{\text{воды}}\) в уравнение для плотности:

\(\rho_{\text{тела}} = \frac{\frac{9}{10}}{\frac{S \cdot \Delta p}{\rho_{\text{воды}} \cdot g}}\)

Осталось только подставить известные величины и вычислить результат. В нашем случае \(S\) - это площадь дна сосуда, которая не указана в условии задачи. Если у вас есть дополнительные данные, вы можете использовать их для расчета \(S\), и в этом случае я смогу дать вам окончательный ответ с конкретным числом. Если же у вас нет таких данных, я могу дать ответ, выраженный через \(S\) без окончательных числовых значений. Дайте мне знать, что вы предпочитаете.